正十七变形的尺规作图.doc

尺规作图：正十七边形
2009-09-07 17:24:09
尺规作图是指使用圆规和没有刻度的直尺在有限步骤内的作图问题。看似几何问题，实则是一个代数问题。比如要作一个角等于π/3，就是在给定的线段的垂直平分线上截取长度为√3/2的线段，而作一条直线的垂线则是给定复平面上的一个点z=1，作出z'=√（-1）这个点。把这个说法更一般化一点，尺规作图问题可以描述成：在复平面上给定那个点z_0,z_1,……,z_n（这些点的共轭可以得到），求复平面上全体可有这些点出发经直尺和圆规在有限步骤内可作出的点（数）的集合M。如果z∈M，即z可作，则z是F[x]中一个2^t次多项式的根，F=Q(z_0,z_1,……,z_n,\bar(z_0),\bar(z_1),……,\bar(z_n))，其中Q为有理数域，\bar(z_k)为z_k的共轭，1≤k≤n。

现在来看一下所谓的尺规作图三大难题。

1，三等分角。给定一个角θ，要得到α=θ/3，即作出cos(α)。而我们有
cos(θ)=cos(3α)=4cos(α)^3-3cos(α),
令cos(α)=a,cos(3α)=b为已知，则有
(2a)^3-3(a)-2b=0,
在一般情况下，这个方程不一定是可约的（如取θ=π/3），在这时2a不可做，因为他不可能是一个2^t次多项式的根。除此之外尚有很多可以被三等分的角，如只要n不是3的倍数，则α=π/3必可三等分。事实上n和3互素，因此存在证书u和v，是的3u+nv=1，1/3n=u/n+v/3,所以α/3=π/3n=uπ/n+vπ/3，π/n和π/3都可作，所以α/3也可作。

2，倍立方。即做一个正方体的体积是原正方体体积的2倍，相当于要作出x^3-2等于0的根，同1，这是不可能的。

3，化圆为方。即作一个正方形使其面积等于给定的原的面积。这相当于要作出x^2-π=0的根。但是π不是代数数，即不是任何多项式的根，所以√π也是不可作的。

尺规作图里面还有一个经典的问题，作正n边形。比如正三角形，正四边形，正五边形，正六边形，正八边形，这些都是很容易就能做出来的，但是很长时间内人们找不到作正七变形和正九边形的方法。这一领域的下一个进展是1796年，高斯给出了正十七边形的作法。1801年，高斯证明了如果k是费马素数，那么就可以用直尺和圆规作出正十七边形。事实上可进一步推广为如下结论：正n边形可作当且仅当n=(2^e)p_1p_2...p_r，e为非负整数，p_k为费马素数1≤k≤r。可以做如下简单的思考：要作正n边形，实际上就是要作n次本原单位根ω，使得ω^n-1=0。又[Q(ω):Q]=φ(n)，根据前面的讨论知φ(n)必为2^t的形式。若n=(2^e)(p_1)^a_1(p_2)^a_2...(p_r)^a_r，则φ(n)=(2^(e-1))(p_1-1)(p_1)^(a_1-1)(p_2-1)(p_2)^(a_2-1)...(p_r-1)(p_r)^(a_r-1)，要使其为为2^t的形式必有p_k为费马素数且a_k=1，1≤k≤r。

所谓费马素数是指形为F_n=2^(2^n)+1形式的素数。当初费马猜想所有这种形状的数都是素数，他验证了前五个3，5，17，257，65537，这些都是素数。但是1738年欧拉证明了当n=5时，F_5=4294967297=641*6700417，因此他不是素数。事实是此后人们再也没有发现其他的费马素数，甚至猜想费马素数只有费马当初验证的5个数。

正三角形，正四边形和正五边形的做法是容易的。这里给出正十七边形的做法，只要做出cos(2π/17)即可。

cos(2π/17)

做直角坐标系xoy（如下图），在x轴上以OA=4为半径作圆O交y轴于C。
取OE=|OA|/4=1，连接CE。
作EF=EF'。
在x轴上取FG=FC，F'G'=F'C。
以AG为直径作圆O'，交y轴于H，连接HG和HA，作IH=IJ=(OF'+F'G')。
作OJ的中垂线分别交圆O于K和L两点，则可证∠AOK=2π/17。

正十七边形

高斯之后数学家力西罗给出了正257边形的完善作法，作图过程印出来长达80页，接着盖尔美斯又给出了正65537边形的作法，其手稿就装满了一个手提箱，现在保存在哥廷根大学。这样，所有已知的费马素数都已经做出了对应的正多边形。