2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答充满活力的韦达定理.doc

第三讲 布满活力韦达定理
一元二次方程根与系数关系，一般也称为韦达定理，这是由于该定理是由16世纪法国最杰出数学家韦达发现。
韦达定理简朴形式中涉及了丰富数学内容，应用广泛，重要体目前：
运用韦达定理，求方程中参数值；
运用韦达定理，求代数式值；
运用韦达定理并结合根鉴别式，讨论根符号特性；
运用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是运用韦达定理解题基本思路。
韦达定理，布满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩数学问题，而解此类问题常用到对称分析、构造等数学思想措施。
【例题求解】
【例1】 已知、是方程两个实数根，则代数式值为 。
思路点拨：所求代数式为、非对称式，通过根定义、一元二次方程变形转化为(例
【例2】如果、都是质数，且，，那么值为( )
A、 B、或2 C、 D、或2

思路点拨：可将两个等式相减，得到、关系，由于两个等式构造相似，可视、为方程两实根，这样就为根与系数关系应用发明了条件。
注：应用韦达定理代数式值，一般是有关、对称式，此类问题可通过变形用+、体现求解，而非对称式求值常用到如下技巧：
(1)恰当组合；(2)根据根定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知有关方程：
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程两个实根、满足，求m值及相应、。

思路点拨：对于(2)，先鉴定、符号特性，并从分类讨论入手。
【例4】 设、是方程两个实数根，当m为什么值时，有最小值?并求出这个最小值。
思路点拨：运用根与系数关系把待求式用m代数式体现，再从配措施入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行。
注：应用韦达定理前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足鉴别式△≥0这一条件，转化是一种重要数学思想措施，但要注意转化先后问题等价性。
【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是有关方程两个根。
(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并阐明理由。
(2)若M、N分别是AD、BC中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB<CD，求AB、CD长．
思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m关系式，规定出m值，还需运用与中点有关知识找寻CD、AB另一隐含关系式。

注：在解决以线段长为根一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根鉴别式检查，又要考虑几何量非负性．

布满活力韦达定理学历训练
1、(1)已知和为一元二次方程两个实根，并和满足不等式，则实数取值范畴是 。
(2)已知有关一元二次方程有两个负数根，那么实数取值范畴是 。
2、已知、是方程两个实数根，则代数式值为 。
3、CD是Rt△ABC斜边上高线，AD、BD是方程两根，则△ABC面积是 。
4、设、是有关方程两根，+1、+1是有关方程两根，则、值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3

5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C对边，a、b是有关
方程两根，那么AB边上中线长是( )
A． B． C．5 D．2
6、方程恰有两个正整数根、，则值是( )
A．1 B．-l C． D．
7、若有关一元二次方程两个实数根满足关系式：，判断与否对旳?

8、已知有关方程。
(1) 当是为什么值时，此方程有实数根；
(2)若此方程两个实数根、满足：，求值。

9、已知方程两根均为正整数，且，那么这个方程两根为 。
10、已知、是方程两个根，则值为 。
11、△ABC一边长为5，另两边长恰为方程两根，则m取值范畴是 。
12、两个质数、正好是整系数方程两个根，则值是( )
A．9413 B． C． D．
13、设方程有一种正根，一种负根，则以、为根一元二次方程为( )
A． B．
C． D．
14、如果方程三根可以作为一种三角形三边之长，那么实数m取值范畴是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1
15、如图，在矩形ABCD中，对角线AC长为10，且AB、BC(AB>BC)长是有关方程两个根。
(1)求rn值；
（2）若E是AB上一点，CF⊥DE于F，求BE为什么值时，△CEF面积是△CED面积，请阐明理由．

16、设m是不不不小于实数，使得有关方程工有两个不相等实数根、。
(1) 若，求m值。 （2）求最大值。

17、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又有关x方程两实数根差平方不不小于192，求整数m、n值。

18、设、、为三个不同实数，使得方程和和有一种相似实数根，并且使方程和也有一种相似实数根，试求值。
参照答案