2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答辅助圆.doc

第二十五讲 辅助圆
在解决平面几何中许多问题时，常需要借助于圆性质，问题才得以解决．
而我们需要圆并不存在(有时题设中没有波及圆；有时虽然题设波及圆，但是此圆并不是我们需要用圆)，这就需要我们运用已知条件，借助图形把需要实际存在圆找出来，添补辅助圆常用措施有：
1．运用圆定义添补辅助圆；
2．作三角形外接圆；
3．运用四点共圆鉴定措施：
(1)若一种四边形一组对角互补，则它四个顶点共圆．
(2)同底同侧张等角三角形，各顶点共圆．
(3)若四边形ABCD对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它四个顶点共圆．
(4)若四边形ABCD一组对边AB、DC延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它四个顶点共圆．
【例题求解】
【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC距离分别为4cm、6cm，那么P到BC距离为 ．

思路点拨 连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题核心．

注：圆具有丰富性质：
(1)圆对称性；
(2)等圆或同圆中不同名称量转化；
(3)与圆有关角；
(4)圆中比例线段．
恰当发现并添出辅助圆，就为圆丰富性质运用发明了条件，由于图形复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．
【例2】 如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( )
A．6 B．7 C．12 D．16

思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径圆，为相交弦定理应用创设了条件．

注：到一种定点等距离几种点在同一种圆上，这是运用圆定义添辅助圆最基本措施．
【例3】 如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC外心O与A，P，Q四点共圆．
思路点拨 先作出△ABC外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．

【例4】 如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O割线，AD⊥PO于D．求证：．

思路点拨 因所证比例线段不是相应边，故不能通过鉴定△PBD与△PCD相似证明．PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圆，这样连OB，就得多对相似三角形，以此达到证明目．

注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一种重要证明措施，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要地位，这是由于，某四点共圆，不仅与这四点相联系条件集中或转移，并且可直接运．用圆性质为解题服务．
【例5】如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G为△ABC内一点，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．

思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活特点证明．

注：许多直线形问题借助辅助圆，常能减少问题难度，使问题获得简解、巧解或新解．

学力训练
1．如图，正方形ABCD中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，则PB长为 ．

2．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同点Pl、P2，…P100，记（i=1，2，…100），则= ．
3．设△ABC三边上高分别为AD、BE、CF，且其垂心H不与任一顶点重叠，则由点A、B、C、D、E、F、H中某四点可以拟定圆共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

4．如图，已知OA=OB=OC，且∠AOB=∠BOC，则∠ACB是∠BAC( )
A．倍 B．是倍 C． D．
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段AD上，满足条件∠BPC=90°点P个数为( )
A．0 B．1 C．2 1 D．不不不小于3整数

6．如图，AD、BE是锐角三角形两条高，S△ABC= 18，S△DEC=2，则COSC等于( )
A．3 B． C． D．
7．如图；已知H是△ABC三条高交点，连结DF，DE，EF，求证：H是△DEF内心．
8．如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC．
求证：(1)∠AHD=∠AHE；(2)

9．如图，已知在凸四边形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK，

10．如图，P是⊙O外一点，PA和PB是⊙O切线，A，B为切点，P O与AB交于点M，过M任作⊙O弦CD．求证：∠CPO=∠DPO．

11．如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O两条切线，过点P作⊙O割线PAB，交⊙O A、B两点，与ST交于点C．求证：

参照答案