高中数学综合检测试题必修.doc

高中数学综合检测试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为
A．B．C． D．
2．直线的倾斜角为
A．B．C． D．
3．已知全集，集合，，则
A．B．C．D．

0
1
2
1
3
5

5
8
7
5
9
9
7
5
4

8
6
甲
乙
图1
4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛
得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的
平均数分别为
A．14、12 B．13、12
C．14、13 D．12、14

5．在边长为1的正方形内随机取一点，则点到点的距离小于1的概率为
A．B．C．D．

6．已知向量和的夹角为，且，则等于
A．1B．C．2D．3
6
5
主视图
6
5
侧视图
俯视图
图2
7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示
（单位：），则该几何体的表面积为
A．
B.
C.
D.
8．若，，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
1
O
x
y

图3
9．已知函数的图像
如图3所示，则函数的解析式是
A．
B．
C．
D．
10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为
A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
否
是
开始

输出
输入
结束

图4
11．圆心为点，且过点的圆的方程为．
12．如图4，函数，，若输入的值为3，
则输出的的值为.
13．若函数是偶函数，则函数的单调递减区间为．
14．设不等式组表示的平面区域为D，若直线上存在区域D上的点，则的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（本小题满分12分）
在△中，角，，成等差数列．
（1）求角的大小；
（2）若，求的值．

16．（本小题满分12分）
某校在高二年级开设了，，三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从，，三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）
兴趣小组
小组人数
抽取人数

24

36
3

48

（1）求，的值；
（2）若从，两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组的概率．

A
B
C
D
P
E
图5
17．（本小题满分14分）
如图5，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若四面体的体积为，求的长．

18．（本小题满分14分）
已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列的前项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．

19．（本小题满分14分）
直线和圆交于、两点，记△的面积为（其中为坐标原点）．
（1）当，时，求的最大值；
（2）当，时，求实数的值．

20．（本小题满分14分）
已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围．

参考答案
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
A
B
C
D
C
B

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．
11．（或）12．9
13．（或）14．

三、解答题
15．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．
解：（1）在△中，，
由角，，成等差数列，得．
解得．
（2）方法1：由，即，得．
所以或．
由（1）知，所以，即．
所以

．
方法2：因为，是△的内角，且，
所以或．
由（1）知，所以，即．
以下同方法1．
方法3：由（1）知，所以．
即．
即．
即．
即．
因为，
所以．
即．解得．
因为角是△的内角，所以．
故．

16．本小题主要考查统计和概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分．
解：（1）由题意可得，，
解得，．
（2）记从兴趣小组中抽取的2人为，，从兴趣小组中抽取的3人为，，，则从兴趣小组，抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有，，，，，，，，，共10种．
设选中的2人都来自兴趣小组的事件为，则包含的基本事件有，，共3种．
所以．
故选中的2人都来自兴趣小组的概率为．

A
B
C
D
P
E

H
17．本小题主要考查直线和平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．
（1）证明：连接交于点，连接，
因为是正方形，所以点是的中点．
因为点是的中点，
所以是△的中位线．
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，
因为点是的中点，所以．
因为平面，所以平面．
设，则，且．
所以

．
解得．
故的长为2．

18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．
解：（1）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
因为数列的前项和．
所以当时，，
当时，，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）可知，．
设数列的前项和为，
则， ①
即， ②
①－②，得

，
所以．
故数列的前项和为．

19．本小题主要考查直线和圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．
解：（1）当时，直线方程为，
设点的坐标为，点的坐标为，
由，解得，
所以．
所以

．
当且仅当，即时，取得最大值．
（2）设圆心到直线的距离为，则．
因为圆的半径为，
所以．
于是，
即，解得．
故实数的值为，，，．
20．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．
解法1：当时，，令，得，是区间上的零点．
当时，函数在区间上有零点分为三种情况：
①方程在区间上有重根，
令，解得或．
当时，令，得，不是区间上的零点．
当时，令，得，是区间上的零点．
②若函数在区间上只有一个零点，但不是的重根，
令，解得．
③若函数在区间上有两个零点，则
或
解得．
综上可知，实数的取值范围为．
解法2：当时，，令，得，是区间上的零点．
当时，在区间上有零点在区间上有解在区间上有解．
问题转化为求函数在区间上的值域．
设，由，得．且．
而．
设，可以证明当时，单调递减．
事实上，设，
则，
由，得，，即．
所以在上单调递减．
故．
所以．
故实数的取值范围为．