等差数列典型例题及分析.doc

第四章 数列
[例1]已知数列1，4，7，10，…，37,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.
正解：（1）3n－2;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.
[例2] 已知数列的前n项之和为① ②
求数列的通项公式。
正解： ①当时，
当时，
经检验 时 也适合，
②当时，
当时，
∴
[例3] 已知等差数列的前n项之和记为，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。
正解：由题意：得
代入得S40 ＝。
[例5]已知一个等差数列的通项公式25－5n，求数列的前n项和；

正解：
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
由此可以确定求其前项和的公式吗？
[例7]已知： （） （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
解：（1） ∴
（2）
当近于0时其和绝对值最小
令： 即 1024+
得：
∵ ∴
[例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 （）
证明：依题意
∵ ∴
∵
∴ ∴ （获证）。
四、典型习题导练
1．已知，求及。
2．设，求证：。
3.求和:
4.求和：
5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.
6.在等差数列中， ，则 （       ）。
A．72　　B．60　　C．48　　D．36
7. 已知是等差数列，且满足，则等于。
8.已知数列成等差数列，且，求的值。

§4.2等比数列的通项和求和
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列的前n项之和（为非零常数），则为（　）。
A.等差数列　　　
B.等比数列　　
C.既不是等差数列，也不是等比数列
D.既是等差数列，又是等比数列
正解：当n＝1时，a11＝;
当n>1时，
（常数）
但
既不是等差数列，也不是等比数列，选C。
[例2] 已知等比数列的前n项和记为，S10=10 ，S30=70，则S40等于.
错解：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝， S40= S30·q =.
错因：是将等比数列中, S2m －, S3m －S2m成等比数列误解为, S2m, S3m成等比数列.
正解：由题意：得，
S40=.
[例3] 求和：23+….
错解： 23+…＝.
错因：是（1）数列｛｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
正解：当a＝0时，23+…＝0;
当a＝1时，23+…＝n;
当a1时， 23+…＝.
[例4]设均为非零实数，，
求证：成等比数列且公比为。
证明：
证法一：关于的二次方程有实根，
∴，∴
则必有：，即，∴非零实数成等比数列
设公比为，则，代入

∵，即，即。
证法二：∵
∴
∴，∴，且
∵非零，∴。
[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。
解：
∵，∴前七项之积
[例6]求数列前n项和
解： ①
②
两式相减：

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2的容器中倒出1盐水，然后加入1水，以后每次都倒出1盐水，然后再加入1水，
问：(1)第5次倒出的的1盐水中含盐多？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{}，则：
a1= 0.2 （）, a2=×0.2（）, a3= ()2×0.2（）
由此可见： ()n-1×0.2（）, a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125（）。
(2)由(1)得{}是等比数列 a1=0.2 ,

答：第5次倒出的的1盐水中含盐0.0125；6次倒出后，一共倒出0.39375盐，此时加1水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式：
1) a1=-2, a3=-8
2) a1=5, 且21=-3
3) a1=5, 且
2.在等比数列，已知，，求.
3.已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列为求此数列前项的和。
5.已知数列{}中，a1=-2且1，求
6.是否存在数列{}，其前项和组成的数列{}也是等比数列，且公比相同？
7.在等比数列中，，求的范围。

§4.3数列的综合应用
三、经典例题导讲
[例1]设是由正数组成的等比数列，是其前n项和.证明：。
错解：欲证
只需证＞2
即证：＞
由对数函数的单调性，只需证＜
－＝
＝－
＜
原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.
正解：欲证
只需证＞2
即证：＞
由对数函数的单调性，只需证＜
由已知数列是由正数组成的等比数列，
>0,.
若,
则－＝ ＝－＜0；
若,
－＝
＝－
＜
原不等式成立.
[例4]求数列的前n项和。
解：设数列的通项为，前n项和为，则

当时，
当时，
[例5]求数列前n项和
解：设数列的通项为，则

[例6]设等差数列{}的前n项和为，且，
求数列{}的前n项和
解：取n =1，则
又由 可得：

[例7]大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a，则

当n为奇数时，取 S达到最小值
当n为偶数时，取 S达到最大值
四、典型习题导练
3．已知数列中，是它的前项和，并且，
（1） 设，求证数列是等比数列；
（2） 设，求证数列是等差数列。
4.在△中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△为正三角形。 5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值.