知识点规律型数字的变化类解答题.doc

知识点043：规律型：数字的变化类（解答题3）
1．探索规律：观察下面由※组成的图案与算式，解答问题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=19=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=　102　；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=　（n+2）2　；
（3）请用上述规律计算：103+105+107+…+2007+2009．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）根据已知得出连续奇数的与等于数字个数的平方；
（2）根据已知得出连续奇数的与等于数字个数的平方，得出答案即可；
（3）利用以上已知条件得出103+105+107+…+2007+2009=（1+3+5+…+2007+2009）﹣（1+3+5+…+99+101），求出即可．
解答：解：（1）由已知得出：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=19=42
1+3+5+7+9=25=52
依次类推：第n个所代表的算式为：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；
故当2n﹣1=19，即n=10时，1+3+5+…+19=102．
（2）；
（3）103+105+107+…+2007+2009，
=（1+3+5+…+2007+2009）﹣（1+3+5+…+99+101）
=（）2﹣（）2=10052﹣512
=1010025﹣2061
=1007424．
点评：此题主要考查了数字变化规律，培养学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点．
2．有一串单项式：x，﹣2x2，3x3，﹣4x4，　A　，　B　，…，19x19，﹣20x20，…
（1）所缺的单项式A是　5x5　，B是　﹣6x6　．
（2）试写出第2 010个单项式与第2011个单项式．
（3）试写出第n个、第n+1个单项式．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）观察每个单项式的系数与x的指数，不看符号，都是从1开始的自然数，符号为奇数位置是正，偶数位置是负；
（2）利用（1）中规律进而得出第2 010个单项式与第2011个单项式．
（3）由（2）自然可推出第n项为（﹣1）n+1nxn，第（n+1）个单项式．
解答：解：（1）由x，﹣2x2，3x3，﹣4x4，…，19x19，﹣20x20可以得到：
每个单项式的系数的绝对值与x的指数相等；奇数项系数为正；偶数项系数为负．
∴单项式A是：5x5，B是：﹣6x6．
故答案为：5x5，…，﹣6x6；
（2）由第n项为（﹣1）n+1nxn可以得到第2010个单项式是﹣2010x2010．第2011个单项式是2011x2011；
（3）由第n项为（﹣1）n+1nxn可以得到：
第（n+1）个单项式是（﹣1）n+2（n+1）xn+1．
点评：此题主要考查了数字规律，解答有关单项式的规律问题，要从系数、指数分析出数字规律，再去解决单项式．
3．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：
（1）猜想并写出：=　﹣　；
（2）计算：…．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：计算题；规律型。
分析：（1）观察可得结果是分子均为1，分母分别为相邻2个数的分数的差；
（2）利用（1）得到的结果进行计算即可．
解答：解：（1），，，
故答案为﹣；
（2）原式=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣==．
点评：考查分数的规律性计算；得到分子为1，分母为相邻2个数的分数的拆分方法是解决本题的关键．
4．观察下列等式：
×2=（+1）×2=+3；
×3=（+1）×3=+3；
×4=（+1）×4=+4；
×5=（+1）×5=+5
设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为　（n+1）=（+1）（n+1）=+n+1　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：通过观察分析得出规律为：（n+1）=（+1）（n+1）=+n+1，据此用n表示出此规律．
解答：解：由已知等式：
×2=（+1）×2=+3；
×3=（+1）×3=+3；
×4=（+1）×4=+4；
×5=（+1）×5=+5；
那么用n表示为：（n+1）=（+1）（n+1）=+n+1，
故答案为：（n+1）=（+1）（n+1）=+n+1．
点评：此题考查的知识点是数字变化类问题，关键是找出规律，最后归纳出来以后，要记得将1，2，3等数代入验证所找出的规律是否符合．
5．实践与探索：
将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表用十字框框出5个数（如图）
（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之与；
（2）十字框框住的5个数之与能等于2020吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；
（3）十字框框住的5个数之与能等于365吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．
考点：规律型：数字的变化类；解一元一次方程。
专题：规律型。
分析：（1）从表格可看出上下相邻相差12，左右相邻相差2，中间的数为a，上面的为a﹣12，下面的为a+12，左面的为a﹣2，右面的为a+2，这5个数的与可用a来表示，
（2）代入2020看看求出的结果是整数就可以，不是整数就不可以．
（3）代入355看看求出的结果是整数就可以，不是整数就不可以．
解答：解：（1）从表格知道中间的数为a，上面的为a﹣12，下面的为a+12，左面的为a﹣2，右面的为a+2，a+（a﹣2）+（a+2）+（a﹣12）+（a+12）=5a；
（2）5a=2020，a=404，这个是可以的；
（3）5a=365，a=73，这个也是有可能的．
点评：此题考查了数字变化规律，理解题意能力与看表格能力，写出这5个数的与代入要求的数看看能不能是整数，是整数就可以．
6．观察三列数：①1，4，9，16，25，…，②0，3，8，15，24，…，③4，7，12，19，28，…，
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行的数与第①行的数有什么关系？
（3）取每行的第12个数，计算这三个数的与．
考点：规律型：数字的变化类。
分析：（1）通过观察发现第n个数应该是n2；
（2）认真比较第②③行的数与第①行的数发现第②行的数为n2﹣1，第③行的数为n2+3
（3）将n=12代入即可求得三个数的与．
解答：解：（1）通过观察每一个数都是个数的平方，
故第n个数应该是n2；
（2）比较第②③行的数与第①行的数发现：第②行的数为n2﹣1，第③行的数为n2+3
（3）∵n2+（n2﹣1）+（n2+3）=3n2+2，
∴当n=12时，3n2+2=3×122+2=3×144+2=434，
∴每行的第12个数的与为434．
点评：本题考查了数字的变化类题目，解决此类题目的关键是认真仔细的观察并从中找到规律．
7．观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想=　　；
（2）求与：+++…+．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）根据所给的等式，可以直接看出规律；
（2）根据（1）中的结论，进行计算即可．
解答：解：（1）…
（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
点评：此题主要考查了数字的变化规律，关键是认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
8．观察下列算式找规律填空
12﹣02=1+0=1 22﹣12=2+1=3 32﹣22=3+2=5　42﹣32=4+3=7　
若字母n表示自然数，请你把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　（n+1）2﹣n2=n+1+n=2n+1　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：根据已知的式子可以得到的规律是：两个连续的整数的平方差等于这两个数的与，据此即可写出两个式子．
解答：解：12﹣02=1+0=1 22﹣12=2+1=3 32﹣22=3+2=5，则下面的式子是：42﹣32=4+3=7，
若字母n表示自然数，请你把你观察到的规律用含n的式子表示出来：（n+1）2﹣n2=n+1+n=2n+1．
点评：本题考查了列代数式，正确理解已知的式子的规律是：两个连续的整数的平方差等于这两个数的与，是解题的关键．
9．附加题：你能很快计算出19952吗？
为了解决这个问题，我们来考察个位为5的自然数的平方，任意一个个位为5的自然数都可以写成10n+5的形式，于是原题即求（10n+5）2的值．N为自然数，分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论．
（1）通过计算、探索规律：152=100×1（1+1）+25；252=100×2（2+1）+25；352=100×3（3+1）+25；452=　100×4（4+1）+25　；652=　100×6（6+1）+25　；952=　100×9（9+1）+25　
（2）从（1）小题的结果，归纳、猜想得：（10n+5）2=　100×n×（n+1）+25　
（3）根据上面的归纳、猜想，请计算出19952=　3980025　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：根据题目给出的计算过程可得规律：第n个数可以表示为100×n×（n+1）+25，据此填空即可．
解答：解：根据规律，第n个数可以表示为100×n×（n+1）+25，
则：（1）452=100×4（4+1）+25，652=100×6（6+1）+25，952=100×9（9+1）+25，
故答案为：100×4（4+1）+25，100×6（6+1）+25，100×9（9+1）+25；
（2）（10n+5）2=100×n×（n+1）+25，
故答案为：100×n×（n+1）+25；
（3）19952=（199×10+5）2=100×199×（199+1）+25=3980025，
故答案为：3980025．
点评：此题考查了完全平方数的计算技巧，同时考查了规律的探索问题，可以激发同学们的探索意识，激发学习兴趣．
10．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3…+100=？，经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3…+n=，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式
2×3=（2×3×4﹣1×2×3）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20
读完这段材料，请尝试求（要求写出规律）：
（1）1×2+2×3+3×4+4×5=？
（2）1×2+2×3+…+100×101=？
（3）1×2+2×3+…+n（n+1）=？
考点：规律型：数字的变化类。
分析：（1）根据已知可以得出，1×2+2×3+3×4+4×5等于×4×5×6，即每一项增加1，即可得出答案；
（2）根据（1）中结论即可得出规律是后三项加1的乘积；
（3）即可得出一般性规律，1×2+2×3+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）．
解答：解：（1）原式=×4×5×6=40，
（2）原式=×100×101×102=343400；
（3）原式=n（n+1）（n+2）．
点评：此题主要考查了数字的规律性问题，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出变化规律是难点中的难点．
11．（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在括号内打“∨”，不成立的打“×”．
（2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n的式子将其规律表示出来，并注明n的取值范围：　 latex=““＞n+nn2﹣1=nnn2﹣1（n≥2）　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）根据二次根式的化简分别判断得出正确与否即可．
（2）利用（1）中计算结果，即可得出二次根式的变化规律，进而得出答案即可．
解答：解：（1）①∨②∨③∨④∨；
（2）根据（1）中结论即可发现：用含n的式子将其规律表示出来为（n≥2）．
点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出根式内外变化规律是解题关键．
12．已知1×2×3×4+1=52，2×3×4×5+1=112，3×4×5×6+1=192，那么4×5×6×7+1=（　29　）2，…，n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1=　[（n+1）（n+2）﹣1]2　，若2004×2005×2006×2007+1=（2005×2006+a）2，那么a=　1　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：根据题意可得4个连续的正整数连乘，再+1=中间两个正整数的积与1的差的平方，由此可直接得到答案．
解答：解：∵1×2×3×4+1=52，2×3×4×5+1=112，3×4×5×6+1=192，
∴4×5×6×7+1=（5×6﹣1）2=292，
n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1=[（n+1）（n+2）﹣1]2，
若2004×2005×2006×2007+1=（2005×2006+a）2，
∴a=1．
点评：此题主要考查了数字的变化规律，探寻数字的变化规律：要认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
13．如图所示，每个圆周上的数是按下述规则逐次标出的：第一次先在圆周上标出，两个数（如图1）；第二次又在第一次标出的两个之间的圆周上，分别标出这两个数的与（如图2）；第三次再在第二次标出的所有相邻两数之间的圆周上，分别标出相邻两数的与（如图3）；按此规则，依此类推，一直标下去．
（1）设n是正整数，记第n次标完数字后，圆周上所有数字的与为Sn，猜想并写出Sn与Sn﹣1的关系；
（2）求S2010的值．
考点：规律型：数字的变化类。
分析：（1）当n=1时，S=，当n=2时，S=，当n=3时，S=，由此可知每次标玩后的与是前一次标完后的与的3倍，即可推出Sn与Sn﹣1的关系；
（2）根据（1）所推出的结论可知，第n次标完后，Sn=3n﹣2，所以S2010的值为32008．
解答：解：（1）∵当n=1时，S1=，
当n=2时，S2=，
当n=3时，S3=，
∴3S1=S2，3S2=S3，Sn=3n﹣2，∴Sn=3Sn﹣1，
（2）∵Sn=3n﹣2，∴S2010=32008．
点评：本题主要考查分析总结归纳能力，关键在于通过计算每次标注完的与，由数的变化推出数的变化规律．
14．（1）观察一列数：﹣2，﹣4，﹣8，﹣16，﹣32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是　2　；根据这个规律，如果a1表示第1项，a2表示第2项，an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18=　﹣218　；an=　﹣2n　
（2）如果想求l+3+32+33+…+320的值，可令S=l+3+32+33+…+3201…①
将①式两边同乘以3，得　3+32+33+34+…+3202　…②
由②减去①式，可以求得S=　　．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a1，a2，a3，…an从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an=　﹣a1qn﹣1　（用含a1，q，n的数学式子表示），如果这个常数为2008，求al+a2+…+an的值．（用含al，n的数学式子表示）．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2；有第一个数为2，故可得a18，an的值；
（2）根据题中的提示，可得S的值；
（3）由（2）的方法，依次可以推出a1+a2+a3+…+an的值，注意分两种情况讨论．
解答：解：（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，
∴a18=﹣218，an=﹣2n；
（2）令s=1+3+32+33+…+3201
3S=3+32+33+34+…+3202
3S﹣S=3202﹣1
S=；
（3）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，∴an=﹣a1qn﹣1，
继而得出：﹣．
故答案为：2、﹣218、﹣2n；3+32+33+34+…+3202、；﹣a1qn﹣1、﹣．
点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．本题的规律为：这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2．要注意：第（3）题要注意分情况讨论．
15．树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表（树苗原高105厘米）：
年数a
高度h（单位：厘米）
1
120
2
135
3
150
4

…
…
①第4年树苗可能达到的高度为　165　厘米
②请用含a的代数式表示高度h为　105+15a　
③根据这种长势，求20年后这棵树可能达到的高度．
考点：规律型：数字的变化类；代数式求值。
专题：规律型。
分析：（1）利用图表可以发现数据是每年增加15cm，从而即可得出答案．
（2）根据每年增加15cm的规律进行计算可得出关系式．
（3）将a=20的值代入即可得出答案．
解答：解：（1）由已知第1年树高120cm，第2年树高135cm，第3年树高150cm，可得出第4年再增加15cm，即165cm，
（2）有已知可得：
a=1，h=120，a=2，h=135，a=3，h=150可知：
h=105+15a；
（3）把a=20代入上式得：
h=105+15×20=405cm．
点评：此题主要考查了等差数列的应用，以与列代数式，题目比较典型，解答此题的关键是列出年数与高度之间的关系式．
16．应用规律，解决问题
（1）．定义：a为不等于1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是，已知，
①a2是a1的差倒数，则a2=　　．
②a3是a2的差倒数，则a3=　4　．
③a4是a3的差倒数，则a4=　﹣　．
④以此类推，a2011=　　．
（2）．我们知道：，…，…×，试根据上面规律，
计算：…．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．
（2）利用，…，…×规律得出答案即可．
解答：解：（1）根据差倒数定义可得：①==，
②=4，
④显然每三个循环一次，又2011÷3=670余1，故a2011与a1的值相等，
∴a2011=，
（2）…．
故答案为：①，，4，③﹣，④，
点评：此题主要考查了数字规律，此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．
17．仔细观察下列四个等式
1×2×3×4+1=25=52
2×3×4×5+1=121=112
3×4×5×6+1=361=192
4×5×6×7+1=841=292
（1）观察上述计算结果，找出它们的共同特征．
（2）以上特征，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的与仍具备吗？若具备，试猜想，第n个等式应是什么？给出你的思考过程
（3）请你从第10个式子以后的式子中，再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）根据结果可直接看出它们都是完全平方数；
（2）根据规律计算一个例子即可，可得第n个等式应是n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]2=（n2+3n+1）2；
（3）可举例11×12×13×14+1进行计算，再算出（112+3×11+1）2的结果即可验证结论．
解答：解：（1）都是完全平方数…（3分）；
（2）仍具备．也都是完全平方数…（5分）；
仔细观察前5个算式与其结果的关系，发现：
1×2×3×4+1=（1×4+1）2
2×3×4×5+1=（2×5+1）2
3×4×5×6+1=（3×6+1）2
4×5×6×7+1=（4×7+1）2
5×6×7×8+1=（5×8+1）2
因此，猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]2=（n2+3n+1）2．
即，第n个等式是：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2…（8分）
（3）如11×12×13×14+1=24024+1=24025．
（112+3×11+1）2=（121+33+1）2=1552=24025．
∴11×12×13×14+1=（112+3×11+1）2．
猜想正确 …（10分）
点评：此题主要考查了数字的变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
18．观察：+=（1﹣）+（﹣）=1﹣=
计算：+++…+．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：根据观察发现规律：=﹣；然后再利用 =×（ ﹣）先化简，再计算即可；
解答：解：原式=﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
点评：本题考查了分数的拆分运算，解题关键是将一个分数拆分成两项，再两两抵消，达到化简的目的．
19．观察一列数：1、2、4、8、16、…我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．
（1）等比数列5、﹣15、45、…的第4项是　﹣135　．
（2）如果一列数a1，a2，a3，a4是等比数列，且公比为q．那么有：a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q=a1q3
则：a5=　a1q4　．（用a1与q的式子表示）
（3）一个等比数列的第2项是10，第4项是40，求它的公比．
考点：规律型：数字的变化类。
分析：（1）根据题意可得等比数列5，﹣15，45，…中，从第2项起，每一项与它前一项的比都等于﹣3；故第4项是45×（﹣3）=﹣135；
（2）观察数据可得an=a1qn﹣1；即可得出a5的值；
（3）根据（2）的关系式，可得公比的性质，进而得出第2项是10，第4项是40时它的公比．
解答：解：（1）等比数列5、﹣15、45、…的第4项是﹣135．
（2）则：a5=a1q4．（用a1与q的式子表示），
（3）设公比为x，10x2=40，解得：x=±2．
点评：此题主要考查了数字变化规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，应用发现的规律解决问题．分析数据获取信息是必须掌握的数学能力，如观察数据可得an=a1qn﹣1．
20．观察下列等式：①，②，③，④…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）根据已知得出数据的分子与分母的变化规律，进而得出答案即可；
（2）利用提取公因式法将原式变形，求出即可．
解答：解：（1）猜想：；
（2）证明：
点评：此题主要考查了数字的变化规律，根据已知得出数据中变与不变从而得出规律是解题关键．
21．研究下列各式，你会发现什么规律？
1×3+1=4 2×4+1=9 3×5+1=16 4×6+1=25…
请你将找出的规律用公式表示出来：　n（n+2）+1=（n+1）2　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：通过观察得到：1×3+1=4=1×（1+2）+1=（1+1）2，2×4+1=9=2×（2+2）+1=（2+1）2，3×5+1=16=3×（3+2）+1=（3+1）2，…，根据此规律用公式表示出来．
解答：解：由已知得：1×3+1=4=1×（1+2）+1=（1+1）2，
2×4+1=9=2×（2+2）+1=（2+1）2，
3×5+1=16=3×（3+2）+1=（3+1）2，
所以用公式表示某一项为：
n（n+2）+1=（n+1）2，
故答案为：n（n+2）+1=（n+1）2．
点评：此题考查的是数字变化类问题，关键是由已知分析总结出规律，按规律求出答案．
22．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．
如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是=．已知，
（1）a2是a1的差倒数，则a2=　　；
（2）a3是a2的差倒数，则a3=　4　；
（3）a4是a3的差倒数，则a4=　﹣　，…，依此类推，则a2009=　　．
考点：规律型：数字的变化类；倒数。
分析：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，首先根据定义计算前几个数，直到计算到循环时，根据几个一循环，即可得到结果．
解答：解：根据差倒数定义：
（1）由已知得：a2==，故答案为：； （
（2）所以a3==4，故答案为：4，
（3）所以a4==；
由以上可知每三个循环一次，又2009÷3=669余2，故a2009与a2的值相等．
所以a2009=a2=，故答案为：﹣，．
点评：本题考查了差倒数的规律，此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．
23．探索与思考
观察下列等式：
（1）想一想：等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？答：　等式左边各项幂的底数与等于右边幂的底数　
（2）试一试：13+23+33+43+…+93=　2025　．
（3）猜一猜：13+23+33+43+…+n3=　　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）通过观察与计算可知左边各项幂的底数的与等于右边幂的底数；
（2）利用（1）中的结论即可得出规律并求得此式的值；
（3）根据（1）中的观察，用式子表示即可．
解答：解：（1）等式左边各项幂的底数与等于右边幂的底数；
（2）13+23+…+93=（1+2+…+9）2==2025；
（3）．
点评：此题主要考查了数字的变化规律，找等式的规律时，要注意观察等式的左边与右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系．
24．现在有很多手机中有这样的猜数字游戏，它的游戏规则是：输入4个0～9中不同的数字，按OK键查阅结果是否正确（手机以？A？B形式显示）．？A表示所输入的？个数字与位置都与手机的答案相同；？B表示有？个数字相同，而位置有误．每局共有十次机会．
输入
显示
1234
2A0B
1564
1A0B
7834
1A2B
3984
0A2B
如：输入“3609”时显示为“1A2B”表示其中有一个数的数字、位置都对了；有两个数的数字对、但位置不对；还有一个数的数字、位置都不对．
如表是一位同学在玩这一游戏时输入的几次数字以与手的显示结果，根据这些信息可知正确答案是　1738　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：根据已知“3609”时显示为“1A2B”表示其中有一个数的数字、位置都对了；有两个数的数字对、但位置不对；还有一个数的数字、位置都不对．进而利用图表进行分析
可能的数字，分别得出各位置的数字即可．
解答：解：∵
输入
显示
1234
2A0B
1564
1A0B
7834
1A2B
3984
0A2B
①有1234，显示2A0B，得出有两个数字数字正确，位置正确，0个数字对、但位置不对，
②1564，显示1A0B，得出有1个数字数字正确，位置正确，0个数字对、但位置不对，
③7834显示1A2B，得出有1个数字数字正确，位置正确，2个数字对、但位置不对，
④3984显示0A2B，得出有0个数字数字正确，位置正确，2个数字对、但位置不对，
由①②可以得出数中一定没有4，1的位置数字一定正确，
有以上③④可得出：此数中有8，3，一定③中3的位置正确，且数字中一定有7，8，由③可得8的位置应该在最后，
∴此数字是：1738，
故答案为：1738．
点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知分别用排除法得出各位置上的数字是解题关键．
25．从2开始，连续的偶数相加，它们的与的情况如下表：
加数m的个数 与（S）
1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣→2=1×2
2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣→2+4=6=2×3
3﹣﹣﹣﹣﹣﹣→2+4+6=12=3×4
4﹣﹣﹣﹣→2+4+6+8=20=4×5
5﹣﹣→2+4+6+8+10=30=5×6
（1）按这个规律，当m=6时，与为　42　；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的与S与m之间的关系，用公式表示出来为：　2+4+6+…+2m=m（m+1）　；
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+200 　　 ②202+204+206+…+300．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）仔细观察给出的等式可发现从2开始连续两个偶数与1×2，连续3个偶数与是2×3，连续4个，5个偶数与为3×4，4×5，从而推出当m=6时，与的值；
（2）根据分析得出当有m个连续的偶数相加是，式子就应该表示成：2+4+6+…+2m=m（m+1）．
（3）根据已知规律进行计算，得出答案即可．
解答：解：（1）∵2+2=2×2，
2+4=6=2×3=2×（2+1），
2+4+6=12=3×4=3×（3+1），
2+4+6+8=20=4×5=4×（4+1），
∴m=6时，与为：6×7=42；
（2）∴与S与m之间的关系，用公式表示出来：2+4+6+…+2m=m（m+1）；
（3）①2+4+6+…+200 　
=200×201，
=40200；
②∵2+4+6+…+300=150×15=22650，
∴202+204+206+…+300．
=22650﹣10100，
=12550．
点评：此题主要考查了数字规律，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值是解题关键．
26．某种数字游戏规律如下表所示：
A
2
3
4
5
6
…
2009
B
1
2
3
4
5
…
2008
C
1
4
7
10
13
…
x
按此规律，则表格中最右一栏中的x的值等于　6022　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：观察发现，要求的C组数中的x，由A、B组数得知是C组中的2008的数是多少，且C组数分别是1，4，7，10，13，…，3n﹣2，据此求出x．
解答：解：观察三组数得：
x是C中的第2008个数，
且得：
1=3×1﹣2，
4=3×2﹣2，
7=3×3﹣2，
10=3×4﹣2，
则第2008个数为：3×2008﹣1=6022，
即x=6022，
故答案为：6022．
点评：此题考查的知识点是数字的变化类问题，关键是由已知先确定x是第几个数，再根据规律求x．
27．阅读下面计算+++…+的过程，然后填空．
解：因为=（﹣），=（﹣）…=（﹣）
所以+++…+
以上方法为裂项求与法，请类比完成：
（1）+++…+=　　．
（2）在与式+++…+　　=中最未一项为　　．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：（1）只需按照给出的规律展开即可求得，
（2）根据结果求左边最后一项，可以运用方程思想求出最后一项所在位置．
解答：解：（1）原式=（ ﹣+﹣+…+﹣），
（2）设最后一项为 ，
则原式=（1﹣++…+）=，
解得x=11．
故最后一项为 ．
故答案为：（1）；（2）．
点评：此题主要考查了数字的变化类．此类问题一般都可以展开，前后项消去，最后只剩下前后两端的数值，计算较为简便．
28．下列计算过程：
计算：+…+
解：∵=；=﹣；=﹣；…=﹣
=1﹣
计算：+…+．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：根据=；=﹣；=﹣…=﹣，得出变化规律求出即可．
解答：解：∵=；=﹣；=﹣；…=﹣，
=1﹣
点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知将分数分解为两数差的形式是解题关键．
29．
观察这组等式的规律，完成下列各题
（1）
（2）若+=﹣1，求n的值．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：计算题；规律型。
分析：（1）利用=﹣计算即可；
（2）利用=×（﹣）先化简，再解关于n的方程求解即可；
解答：解：（1），
=1﹣+﹣+…+﹣，
=1﹣，
（2）+=﹣1，
×（ 1﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）+=﹣1，
﹣×+=﹣1，
13﹣1+2n=﹣26，
n=﹣19．
故n的值为19．
点评：本题考查了分数的拆分运算，解题关键是将一个分数拆分成两项，再两两抵消，达到化简的目的．
30．亲爱的同学，你能比较20092010与20102009的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1与（n+1）n的大小（n是自然数）然后，我们分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想，得出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格中选填＜＞﹦号）
12　＜　21 23　＜　32 34　＜　43 45　＜　54 56　＜　65…
（2）从第（1）小题的结果，经过归纳，可以猜想出nn+1与（n+1）n的大小关系是
　＜　
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：
20102011　＜　20112010
考点：规律型：数字的变化类。
分析：（1）实际通过计算得到答案，（2）从（1）中得到结果，（3）从（2）中得到结论．
解答：解：（1）通过计算，
12＜21，23＜32，34＜43，45＜54，56＜65
（2）从第（1）小题的结果经过归纳，
可以猜想出nn+1与（n+1）n的大小关系是nn+1＜（n+1）n
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20092010＜20102009
点评：本题考查了数字的变化类，通过实际计算来找到规律，很容易得到．
31．已知AB两地相距50米，某人从A地出发去B地，以每分钟2米的速度行进，第一次他前进1米，第二次他后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米…，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为﹣16，
（1）求出B地在数轴上表示的数；
（2）若B地在原点的右侧，经过第七次行进后此人到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？
（3）若B地在原点的右侧，那么经过n次（n为正整数）行进后，它在数轴上表示的数应如何表示？
（4）若B地在原点的右侧，那么此人经过多少次行进后，它恰好到达B点？（请写出详细的步骤）
考点：规律型：数字的变化类；数轴。
分析：（1）在数轴上表示﹣16的点移动50个单位后，所得的点表示为﹣16﹣50=﹣66或﹣16+50=34；
（2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可；
（3）分n为奇数，n为偶数两种情况讨论可得在数轴上表示的数；
（4）将B地在原点的右侧的点34代入（3），解方程即可求解．
解答：解：（1）﹣16+50=34，﹣16﹣50=﹣66．
答：B地在数轴上表示的数是34或﹣66．（1分）
（2）第七次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7=4，
第八次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8=﹣4，
因为点P、Q与A点的距离都是4米，
所以点P、点Q到A地的距离相等；（3分）
（3）当n为奇数时，它在数轴上表示的