新人教版八年级下册数学勾股定理教案.doc

第十七章 勾股定理
勾股定理（一）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识与能力。
情感态度价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
教学重点、难点
重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明。
教学过程
1.引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm与4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5与12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122与132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
完成23页的探究，补充下表，你能发现正方形A、B、C的关系吗？

A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图1

图2

由此我们可以得出什么结论？可猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，
那么 。
2、合作探究：
方法1：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，与爱国情怀。
方法2:已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×ab＋c2
右边S=（a+b）2
左边与右边面积相等，即
4×ab＋c2=（a+b）2
化简可证。
课堂小结
作业布置：作业 P28页习题第1题
板书设计：
勾股定理（二）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：会用勾股定理进行简单的计算。
情感态度价值观：树立数形结合的思想、分类讨论思想。
重点、难点
重点：勾股定理的简单计算。
难点：勾股定理的灵活运用。
教学过程
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重要应用。
合作探究
问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
B
C
1m

2m
A
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
例：如图2，一个2.6米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.4米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D

课堂小结
作业： P28页习题第2、5题
板书设计：
勾股定理（三）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：会用勾股定理解决较综合的问题。
情感态度价值观：树立数形结合的思想。
重点、难点
重点：勾股定理的综合应用。
难点：勾股定理的综合应用。
教学过程
复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
合作探究：
分析：利用尺规作图与勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB，
(1)说出数轴上点A所表示的数。
（2）在数轴上作出对应的点？
变式训练：在数轴上画出表示的点。
课堂小结
作业布置： P28页习题第6题
板书设计：
勾股定理的逆定理（一）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
过程与方法：探究勾股定理的逆定理的证明方法。
情感态度价值观：理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点、难点
重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
教学过程：
创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？与等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
合作交流：
图17.2-2
1、如图17.2-2，若△ABC的三边长、、满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．
2、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
3.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？
（1） 两直线平行，内错角相等；
（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3） 全等三角形的对应角相等；
（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设与结论调换即可，但要分清题设与结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
解略。
例1：判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）； （2）．
（3）； （4）；
课堂小结
作业： P34页习题第1题
板书设计：
勾股定理的逆定理（二）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
过程与方法：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
重点、难点
重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学过程
创设情境：在军事与航海上经常要确定方向与位置，从而使用一些数学知识与数学方法。
四、自学展示:
已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
合作探究
例2 “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
课堂小结
让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
作业 ：P34页习题第3题
板书设计：
勾股定理复习（一）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边..勾股定理的应用.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
过程与方法：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
情感态度价值观：激发学生的数学学习兴趣，促其勤奋学习。
教学重难点：
重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
一、复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：
1.勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的______与等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有： 这就是勾股定理．
(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方与等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.
3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示（n为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，表达了数形结合的思想．
(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若，则三角形是直角三角形；若，则三角形是锐角三角形；若，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．
二、合作交流：
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm与8cm，那么这个三角形的周长与面积分别是多少?
例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．
例3：.如图中，，，，，求的长
例4：.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　
四、学习检测：
1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A．7，24，25 B．3，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8
2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
3.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（　　）
A．6cm 　　B．8．5cm C．cm D．cm
4.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角
5．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
6．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为 ．
7．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 ．
8．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是 。
勾股定理复习(课时二)
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理与逆定理来解决实际问题．
过程与方法.经历反思本单元知识结构的过程，理解与领会勾股定理与逆定理．
教学重难点
重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用．
难点：应用勾股定理以及逆定理．
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为______．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．在数轴上作出表示的点．
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
考点二、利用列方程求线段的长
A
D
E
B
C

1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17
（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有
2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是 .
3.如图1，在△ABC中，AD是高，且，求证：△ABC为直角三角形。
考点四、灵活变通
1.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_________．
3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
4.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱
的A点沿纸箱爬到 B点，那么它所爬行的最短路线
的长是 。
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