概率论与数理统计期末复习试卷4套答案.doc

第一套
编号

一、 判断题（2分5）
1、 设，是两事件，则。 （ ）
2、 若随机变量的取值个数为无限个，则一定是连续型随机变量。（ ）
3、 与独立，则。 （ ）
4、 若与不独立，则。 （ ）
5、 若服从二维正态分布，与不相关与与相互独立等价。（ ）
二、选择题（3分5）
1、 对于任意两个事件和（ ）
若，则一定独立 若，则一定独立
若，则一定不独立 若，则有可能独立
2、 设相互独立，且，，则服从的分布为（ ）

3、 如果随机变量与满足，则下列说法正确的
是（ ）
与相互独立 与不相关

4、 样本取自正态总体，，分别为样本均值与样本标准差，则（ ）

5、在假设检验中，设为原假设，犯第一类错误的情况为（ ）
真，拒绝 不真，接受
真，接受 不真，拒绝
三、填空题（3分5）
1、 设为两个随机事件，已知，，
则
2、 若袋中有5只白球和6只黑球，现从中任取三球，则它们为同色的概率
是
3、设二维随机变量的概率密度为：，则
4、设随机变量服从参数为的指数分布，则数学期望
5、在总体的数学期望的两个无偏估计
和中，最有效的是

四、计算题
1、（10分）甲箱中有个红球，个黑球，乙箱中有个黑球，个红球，先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后，再从乙箱取出一球，
（1） 求从乙箱中取出的球是红球的概率；
（2） 若已知从乙箱取出的是红球，求从甲箱中取出的是黑球的概率；
2、（8分）设二维随机变量的联合概率密度为：
求关于的边缘概率密度，并判断是否相互独立？
3、（8分）设随机变量的分布函数为：
（1）求的值；
（2） 求落在及内的概率；
4、（8分）设随机变量在服从均匀分布，求的概率密度；
5、（10分）设及为分布中的样本的样本均值和样本方差，求（）
6、（8分）某厂家生产的灯泡寿命服从正态分布，标准差小时，若36个灯泡的样本平均寿命为780小时，求此厂家生产的所有灯泡总体均值的96%的置信区间。（）
7、（8分）设有一种含有特殊润滑油的容器，随机抽取9个容器，测其容器容量的样本均值为10.06升 ，样本标准差为0.246升，在水平下，试检验这种容器的平均容量是否为10升？假设容量的分布为正态分布。
（，）

第二套

一、 判断题（2分5）
1、 设，是两事件，则。 （ ）
2、 若是离散型随机变量，则随机变量的取值个数一定为无限个。（ ）
3、 与独立， 则。 （ ）
4、若服从二维正态分布，与不相关与与相互独立等价。（ ）
5、若与不独立，则。 （ ）
二、选择题（3分5）
1、事件相互独立，且，则（ ）
互不相容
以上都不正确
2、设随机变量的协方差为，则之间关系为（ ）
相互独立 不相关
互不相容 无法确定

3、随机变量的分布函数为：则（ ）

4、设随机变量与都服从，则（ ）
服从正态分布 服从分布
和都服从分布 服从分布
5、在假设检验中，设为原假设，犯第二类错误的情况为（ ）
真，拒绝 不真，接受
真，接受 不真，拒绝
三、填空题（3分5）
1、 设随机变量与相互独立，且，，则随机变量的方差为
2、 设事件满足，，，
则
3、 设四位数中的4个数字都取自数字1，2，3，4，所组成的4位数不含有重复数字的概率为
4、 设二维随机变量的概率密度为：，
则
5、 在总体的数学期望的两个无偏估计
和中，最有效的是
四、计算题
1、 （10分）有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，问他乘火车来的概率是多少？
2、 （8分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：

求边缘概率密度，并判断与是否相互独立？
3、（8分）设随机变量的分布函数为：
求： （1）的值；
（2） 落在及内的概率；
4、（8分）设随机变量在服从均匀分布，求的概率密度；
5、（10分）设及为分布中的样本的样本均值和样本方差，求（）
6、 （8分）设总体服从指数分布，其概率密度为
是从总体中抽出的样本，求参数的最大似然估计。
7、（8分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可
以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？（）

第三套

一、 判断题（2分5）
1、而取其它值时，则是概率密度函数。 （ ）
2、设，是两事件，则。 （ ）
3、若随机变量的取值个数为无限个，则一定是连续型随机变量。（ ）
4、若服从二维正态分布，与不相关与与相互独立等价。（ ）
5、若与不独立，则。 （ ）
二、选择题（3分5）
5、 袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）

2、已知随机变量服从二项分布，且数学期望和方差分别为、，则二项分布的参数，的值分别为( )

3、设随机变量与相互独立，分布律为

则下列式子正确的是（ ）

4、 随机变量，，则（ ）

5、在假设检验中，设为原假设，犯第一类错误的情况为（ ）
真，拒绝 不真，接受
真，接受 不真，拒绝
三、填空题（3分5）
1、已知，，，则
2、3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为，则此密码被译出的概率是
3、设二维随机变量的概率密度为：，则
4、已知随机变量，，且与相互独立，则 服从的分布为
5、在总体的数学期望的两个无偏估计
和中，最有效的是
四、计算题
1、（10分）设的分布律为：

（1） 计算常数；
（2） 求的分布律；
2、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

求边缘概率密度，并判断与是否相互独立？
3、（8分）设随机变量的分布函数为：
求：（1）求的值；
（2）求落在及内的概率；
4、（8分）设随机变量服从标准正态分布，求的概率密度。
5、（10分）假设总体服从正态分布，样本来自总体，
要使样本均值满足概率不等式，求样本容量最少应取多大?
6、（8分）设总体的方差，根据来自的容量为100的简单样本，测得样本均值5，求的数学期望的置信水平等于0.95的置信区间？（）
7、（8分）食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为，每隔一定时间需要检验机器的工作情况，现抽9罐，测得其重量的样本均值为502，样本标准差为6.5，假设重量服从正态分布，试问机器工作是否正常（）？

第四套
一、 填空题（3×5分=15分）
1、已知事件则＿＿＿＿.
2、连续型随机变量的概率密度为

则＿＿＿＿.
3、某产品40件，其中次品有3件，现从中任取两件，若记取出的次品数为
，则＿＿＿＿＿＿＿＿.
4、设随机变量的分布律为
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
-1 0 1 2
0.1 0.2 0.3 0.4
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
则 ＿＿＿＿＿＿＿＿.
5、设总体服从正态分布，则服从＿＿＿＿分布.其中
为的样本.
二、选择题
1、 假设和满足，则正确的是（ ）
（A）是必然事件 (B)
（C） (D)
2、 设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2，则随机变量的方差是（ ）
（A）1 (B)4 (C)28 (D)44
3、 设随机变量和满足，则下列叙述正确的是（ ）
（A）与相互独立 （B）与不相关
(C) (D)
4、 设二元随机变量服从二元正态分布，则与相互独立是与不相关的（ ）
(A) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)无关条件
5、 在假设检验中，设为原假设，犯第一类错误的情况为（ ）
（A）为真，接受. (B) 不真，接受.
(C) 为真，拒绝. (D) 不真，拒绝.
三、计算题
1、若袋中有6只白球和5只黑球，现从中任取三球，求它们为同色的概率.

2、已知5%的男人和0.25%的女人是色盲患者，假设男 人和女人各占一半，现随机挑选一人，恰好是色盲患 者，求此人是男人的概率.

3、设连续性随机变量的分布函数为

求（1）系数 (2)
4、已知服从区间[0,1]上的均匀分布，求的函数
的概率密度.

5、 续型随机变量的概率密度为

求的数学期望和方差.
6、 设总体服从正态分布为总体
的样本，为样本方差，为样本均值，求
7、 设随机变量和的联合分布律为

-1
0
1
0
0.08
0.32
0.20
1
0.07
0.18
0.15

求与的协方差.
8、 假设总体服从正态分布，样本
来自总体，要使样本均值满足不等式
，求样本容量最小应取多少？

1.28

1.645

1.96

2.33

0.900

0.950

0.975

0.990
附表：

、某工厂生产一批滚珠，其直径服从正态分布
，现从中随机地抽取5个，测得直经如下
（单位：mm）: 15.1 14.8 15.2 14.9 15.0
求直径平均值的置信度为95%的置信区间.(参见8题附
表)

10、某种导线的电阻服从正态分布，现从新 生产的导线中抽取9根，测其电阻，得样本标准差
对于，是否可以认为这批导线电阻的方差仍然为
？

0.975
0.025
8
2.18
17.5
9
2.70
19.0
分布表：

1、 证明对任意常数，随即变量有

2、 设是参数的一个无偏估计，又，证明：
不是的无偏估计.

第一套答案
一、 判断题 1、（ × ）2、（ × ）3、（ √ ）4、（× ）5、（ √）
二、 选择题
1、 2、 3、 4、 5、
三、 填空题
1、 2、 3、 4、 5、
四、 计算题
1、 设{从甲箱中取出的是红球}，{从甲箱中取出的是黑球}，
{从 乙箱中取出的是红球}，（2分）
（1）、由全概率公式有：
（7分）
（2）、由贝叶斯公式有：（10分）
2、 （4分）
（6分）
因为，所以与不独立。 （8分）
3、（1）、由分布函数的右连续性，在点处有，即；（4分）
（2）、由分布函数的性质知：
（6分）
（8分）
4、由题意：的概率密度为，
对应的函数在上严格单调递减，且，。 （4分）
（8分）
5、 与相互独立，且，以及
（4分）
因此
（5分）
（7分）
（9分）
（10分）

5、 因为标准差已知，所以求的置信区间用正态分布随机变量，，由，（5分）
得置信区间为： （6分）
由，有，
即 （8分）
7、解： 假设 （1分）
由题意： （2分）
由公式： （8分） 故接受，即可认为平均容量为10升。
第二套答案
一、判断题
1、（ ×）2、（ ×）3、（× ）4、（√ ）5、（ ×）
二、选择题
1、 2、 3、 4、 5、
三、填空题1、 2、 3、 4、 5、
四、计算题
1、 设{乘火车}，{乘轮船}，{乘汽车}，{乘飞机}，{他迟到}，
由题意：，，， （2分）
由全概率公式有：
（7分）
由贝叶斯公式有： （10分）
2、 （4分）
（7分）
因为 ，故相互独立 （8分）
3、（1）由分布函数的右连续性，在点处有，即；（4分）
（2）由分布函数的性质知： （6分）
（8分）
4、 题意：的概率密度为，对应的函数在上严格单调递增，且，。 （4分）
由定理可知：
（8分）
5、 因为与相互独立，且，以及， （4分）
因此
（5分）
（7分）
（9分）
（10分）
6、设是样本的一组样本值，似然函数为：
（5分）
取对数有：， （6分）
令 （7分）
得的最大似然估计为： （8分）
7、解： 假设 （1分）
由题意： （2分）
由公式： （8分）故接受，即可认为这次考试全体考生的平时成绩为70分。
编号

第三套答案
一、判断题 1、（√ ）2、（ × ）3、（ × ）4、（ √ ）5、（× ）
二、选择题
1、 2、 3、 4、 5、
三、填空题
1、 2、 3、 4、 5、
四、计算题
1、（1） ，得 （4分）

（2）

（10分）
2、 （） （4分）
（） （7分）
因为 ，故相互独立 （8分）
3、（1）、由分布函数的右连续性，在点处有，即；（4分）
（2）、由分布函数的性质知：
（6分）
（8分）
4、由题意：的概率密度为：
对应的函数严格单调递增，且，。 （4分）
由定理可知：
（8分）
5、解：由题设有：， （3分）
（7分）
即 ，， （10分）
因此样本容量最少应取为16
6、因为标准差已知，所以求的置信区间用正态分布随机变量，，由， （5分）
得置信区间为： （7分）
由，有 （8分）
7、解： 假设 （1分）
由题意： （2分）
由公式： （8分）故接受，即可认为机器正常工作。

第四套答案
一、填空题1、0.1 2、3 3、 4、2 5、
二、选择题（3×5=15分）
1、D 2、D 3、B 4、C 5、C
三、计算题（6×10=60分）
1、 …………… 4分
………………6分
2、设={男人}，={色盲}
则 ………2分
……………5分
= …………………6分
3、（1） …………………3分
（2）……6分
4、 ……………….1分
=………4分
故 ………….6分
5、……………2分
………………..4分
…………6分
6、～
～………………2分
………….3分
～…………………5分
……………6分
7、 ……………2分
……………4分
故 ，……………6分
8、～，～ ……………2分

=………………4分
得
则 至少是16 ………………………6分
9、 ……………2分
置信区间为 …………4分
即 ………………6分
10、
～
拒绝域为 …………2分
，
…………………4分
由于 ，落在拒绝域内，拒绝， 不能认为这批导线电阻的方差仍为 …………6分
三、证明题（5×2=10分）
1、
3分
…………………5分

2、 ， （2分）

（4分）
（5分）