高中数学校本教材专题七——函数的性质(单调性、奇偶性、周期性).doc

专题七 函数的性质
（一）函数的单调性
一．知识方法
函数单调性的定义：
①如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；
②设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；
单调性的定义①的等价形式：设，那么
在增；在减。
复合函数单调性的判断．“同增异减”
函数单调性的应用.
（1）若在区间上递增且()；
主要用于：①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等。
（2）若在区间上递增
5．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是定义域的子集；
6．判断函数的单调性的方法有：用定义；用已知函数的单调性；利用函数的导数；如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数图象法；复合函数的单调性结论：“同增异减”
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
函数在上单调递增；
在上是单调递减。
二．题型演练：
题型一：证明函数的单调性：
证明函数单调性的步骤：
第一步：设x、x∈给定区间，且x<x；
第二步：计算f(x)－f(x)至最简；第三步：判断差的符号；第四步：下结论.
例1．证明：函数在上是增函数．
证明：设
∴

即
故函数在上是增函数．
例2．判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
证明：函数是增函数．证明如下：
设，则

，
∵，∴，，∴，
即，∴函数是增函数．
说明：本题中的函数可视作函数和的和，这两个函数在内都是增函数，也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。
题型二：求单调区间
例3．1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性．
解：（1）单调增区间为：单调减区间为，
（2），
，
令 ，得或，
令 ，或
∴单调增区间为；单调减区间为．
题型三：已知函数单调性，求参数范围：

例4．(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为 ；
（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；
（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为 ．
解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；
（２）由题意可以知道即；
（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；
例5． 已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．
解: ∵时，，
∴函数是减函数，
∴由得：，解得，
∴的取值范围是．
[评注]: 注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。若本例题中的定义域改为的的范围又怎样了呢？

题型四：单调性的应用
例6. 设为奇函数，且在定义域上为减函数，求满足的实数a的取值范围。
解：由为奇函数知：
由是减函数知：
∴ 解得
例7. 设是定义在上的增函数，且，求满足不等式的的取值范围。
解：
又
∴ 化为
∴ 解得

例8．　已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，
（1）求证：是偶函数；
（2）在上是增函数；
（3）解不等式．
解：（1）令，得，∴，
令，得，
∴，
∴是偶函数．
（2）设，则

∵，∴，∴，
即，∴
∴在上是增函数．
（3），∴，
∵是偶函数
∴不等式可化为，
又∵函数在上是增函数，
∴，解得：，
即不等式的解集为

（二）函数的奇偶性
一．知识方法
1．函数的奇偶性定义
偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
2、函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
（3）是偶函数
是奇函数；
（4）,
；
（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
（6）根据奇偶性可将函数分为四类：
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3. 函数奇偶性的判定方法
(1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1
(2)利用定理，借助函数的图象判定
(3)性质法判定
设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
二．题型演练
题型一、判断有解析式的函数的奇偶性
例1． 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）
[分析]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。
解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），
∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
由得
故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x）
故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，
∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数.
【评注】函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.

题型二、证明抽象函数的奇偶性
例2 ．定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，
都有. 求证f (x)为奇函数；
[分析]欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充
分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理
“赋值”
解：令x = y = 0，则
f (0) + f (0) =
∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0
∴ f (－x) =－f (x)
∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数
【评注】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2)
题型三、 函数奇偶性、单调性的综合应用
例3． 已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
[分析] 欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从
出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。
解： 是定义在上奇函数
对任意有
由条件得=
是定义在上减函数
，解得
实数的取值范围是
【评注】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式
例4. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.
[分析] 欲由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。
而函数y=()是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决
解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，
∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),
∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.

由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.
又a2－3a+1=(a－)2－.
∴函数y=()的单调减区间是
结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3).
【评注】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。

（三）函数的周期性

一、知识方法
周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得
恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，
则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,
① ，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
⑤，则是以为周期的周期函数.
⑥，则是以为周期的周期函数.
⑦，则是以为周期的周期函数.
⑧函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；

⑨函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；

⑩函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；

⑾对于三角函数，其周期
⑿；对于，其周期
3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有;
二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
二、题型演练
题型一、求函数周期性
例1．若存在常数，使得函数满足，
的一个正周期为
【分析】本题考查函数的周期性的定义。注意周期性是对x 而言的。
解：由可得周期为。
例2．设是定义在上的正值函数,且满足
.若是周期函数,则它的一个周期是（ ）
.；.；.；.
解：由是定义在上的正值函数及得
，，
，所以，即的一个周期是6
题型二、函数周期性与奇偶性综合应用

例3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为（ ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
【分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。
解：由
由是定义在R上的奇函数得，∴，故选择B。
【评注】本题用到两重要性质：①的周期为；②如是定义在R上的奇函数，则。
例4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= ______________.

【分析】本题考查函数的周期性
解：得，假设
因为点（，0）和点（）关于对称，所以
因此，对一切正整数都有：
从而：。本题答案填写：0

例5．已知是周期为2的奇函数，当时，
设则
（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
解：已知是周期为2的奇函数，当时，
设，，<0，∴，选D.
【评注】本题是对函数周期性、奇偶性和单调性的综合应用，注意数形结合。
例6．函数对于任意实数满足条件，若则__________。
【分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。
解：由得，所以，则。
【评注】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解 “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。
例7、是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：由的周期性知，
即至少有根1，2，4，5。故选择B

例8、设函数在上满足，，且在闭区间
［0，7］上，只有．
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又,故函数是非奇非偶函数;
(II)由

(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.

习题七
1． 已知是定义在R上的函数，且满足，则
“为偶函数”是 “2为函数的一个周期”的 ( )
A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．
3．设函数 (x∈R)为奇函数，，
，则（ ）
A．0；B．1； C．；D．5
4．函数在其定义域内是( )
A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数
C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数
5．偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（ ）
A．；B．C．；D．
6．设函数为奇函数，则___________。
7．已知是定义域为R的奇函数，若当时，
，则满足的的取值范围是 ．
8. 设是上的奇函数，，当时，，则为

9. 已知定义在上的偶函数满足对
于恒成立，且，则 ________ 。

10. 设是连续的偶函数,且当时是单调函数,
求满足的所有之和。

11. 定义在上的偶函数，当时，单调递减，若，求的取值范围。

12.若为奇函数，且在上是减函数，又，求 的解集。

答案：

1、[解析]C；由得
若为偶函数，则，即2为函数的一个周期；
若2为函数的一个周期，则，又由得
，所以，即为偶函数
2、[解析]D；因为为偶函数，故，又，在上是增函数，所以
3、[解析]C；特取，则
4、[解析]B；因为，故是奇函数；又
，可见是增函数，所以应选B
5、[解析]D；由已知条件通过的草图得知函数的值在、、上都为正，在、上为负，故不等式的解集为

6、 [解析] 由函数为奇函数得到，即
所以

7、[解析]；当时，，由已知条件得，又
是定义域为R的奇函数，故得，即
当时由得；当时由得
8、[解析] ；由得，故是以4为周期的函数，故，又是上的奇函数，且当
时，所以
9、[解析] ；根据题意，由已知得，又是连续的偶函数,且当时是单调函数，故得或
即① 或②
①的两根之和为，②的两根之和为，所以所有根的和为
10、[解析]：由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，
又由已知等式得
又由是上的偶函数得
又在已知等式中令得，即
所以
11、[解析]：∵ 为定义在上的偶函数，且当时递减
∴ 在时递增
∴ ∴ ∴
12、[解析] 由得或
∵为奇函数，在上是减函数，
∴由；由
∴的解集为