数列的极限1.pptx

1.3 数列的极限数列的极限1 数列极限的定义数列极限的定义(解析定义解析定义)教学要求教学要求：理解数列极限的概念；了解收：理解数列极限的概念；了解收敛数列的性质并会加以简单的应用敛数列的性质并会加以简单的应用重点内容重点内容：2 数列极限的性质数列极限的性质3 常用数列的极限常用数列的极限一、数列极限的定义一、数列极限的定义1.1.引例引例1、“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”从这种截棒过程中可以看出：从这种截棒过程中可以看出：若用若用 表示对应的第表示对应的第 天剩余的棒长，天剩余的棒长，则则 棒长剩余量无限变小，当天数无限增大时，棒棒长剩余量无限变小，当天数无限增大时，棒长剩余量无限接近于长剩余量无限接近于02、刘徽的割圆术、刘徽的割圆术(参见光盘演示参见光盘演示)例如例如2.2.数列的定义数列的定义注意：注意：1.从几何上看，数列可以看作一个动点从几何上看，数列可以看作一个动点在数轴上的运动在数轴上的运动2.从函数的角度看，数列是整标函数从函数的角度看，数列是整标函数3.3.数列极限的定义数列极限的定义播放播放问题问题1:当当 无限增大时无限增大时,任意数列任意数列 是否能无限接是否能无限接近于某一确定的数值近于某一确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题2:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它？刻划它？通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:“无限接近无限接近”的含义：的含义：只要只要 n 足够大，足够大，可以小于任意给定的正数可以小于任意给定的正数(不管多小不管多小)如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：几何解释几何解释:4.引入符号引入符号数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意：显然显然:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.即即例例1 证明证明证证故对任给故对任给要使要使只要只要即即所以所以,则当则当时时,就有就有即即由由若取若取小结小结:例例2证证所以所以,例例3证证二、二、收敛数列的性质收敛数列的性质1、唯一性、唯一性性质性质1 1 收敛数列的极限是唯一的收敛数列的极限是唯一的.证证(反证法反证法)由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.2、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界性质性质2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.(.(命题与其逆否命题命题与其逆否命题等价等价)注意：注意：有界性是数列收敛的必要而非充分条件有界性是数列收敛的必要而非充分条件.注注1：有界数列不一定收敛：有界数列不一定收敛.如：如：注注2：不收敛的数列也不一定无界：不收敛的数列也不一定无界.反例同上反例同上.3、保号性保号性性质性质3 若若，且，且(或或)，则存在正整数则存在正整数N，当，当nN时，都有时，都有(或或).证明：用极限的定义证明证明：用极限的定义证明.推论：若数列推论：若数列 从某项起有从某项起有(或或)，且且，则，则(或或).注意注意 如果数列如果数列例如例如4、收敛数列与其子数列的关系、收敛数列与其子数列的关系注注1：例如，例如，性质性质4 4 收敛数列的任一子数列也收敛，且极限收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同相同证明：数列极限的定义及注证明：数列极限的定义及注1注注2：说明数列发散的方法：说明数列发散的方法：1)找出数列的一个发散子列；找出数列的一个发散子列；2)找出数列的两个有不同极限的子列找出数列的两个有不同极限的子列.如如 注注3：发散数列可能有收敛子列：发散数列可能有收敛子列.如如 小结小结了解数列极限的解析定义，掌握数列极限的性质了解数列极限的解析定义，掌握数列极限的性质.习题习题1 3:2(2,3),5,6 作业作业A：习题习题1 3:1(2,4),2(2),5 作业作业B：三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限