高三北师大版理科数学一轮复习课时作业42立体几何中的向量方法一——位置关系的证明.doc

课时作业(四十二)　[第42讲　立体几何中的向量方法(一)——位置关系的证明]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．直线l1，l2相互平行，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(　　)
A．s1＝(0,1,2)，s2＝(2,1,0)
B．s1＝(0,1,1)，s2＝(1,1,0)
C．s1＝(1,1,2)，s2＝(2,2,4)
D．s1＝(1,1,1)，s2＝(－1,2，－1)
2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(　　)
A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)
B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)
C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)
D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)
3．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是(　　)
A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)
B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)
C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)
D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)
4．若直线l⊥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是(　　)
A．s＝(1,0,1)，n＝(1,0，－1)
B．s＝(1,1,1)，n＝(1,1，－2)
C．s＝(2,1,1)，n＝(－4，－2，－2)
D．s＝(1,3,1)，n＝(2,0，－1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是(　　)
A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)
B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)
C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)
D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)
6．若平面α，β垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是(　　)
A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)
B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)
C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)
D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)
7．直线l的方向向量为s＝(－1,1,1)，平面π的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面π，则x的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．±
8．[2011·枣庄模拟] 已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量是(　　)
A．s＝±(1,1,1) B．s＝±
C．s＝± D．s＝±
9．[2011·宁波调研] 已知非零向量a，b及平面α，若向量a是平面α的法向量，则a·b＝0是向量b所在直线平行于平面α或在平面α内的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.
11．空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD，AE的中点，给出如下命题：①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面．
则所有正确命题的序号为________．

图K42－1
12．如图K42－1，设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E.现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与平面ABE的位置关系为________．
13．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．
14．(10分)如图K42－2，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥BP交BP于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.

图K42－2

15．(13分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M，N分别是A1B1，BC的中点．
(1)求证：AB⊥AC1；

(2)求证：MN∥平面ACC1A1.

图K42－3

16．(12分)如图K42－4，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
(2)是否在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

图K42－4

课时作业(四十二)
【基础热身】
1．C　[解析] 两直线平行则其方向向量平行，根据两向量平行的条件检验知正确选项为C.
2．B　[解析] 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直．
3．C　[解析] 直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，检验知正确选项为C.
4．C　[解析] 线面垂直时，直线的方向向量平行于平面的法向量，只有选项C中的两向量平行．
【能力提升】
5．D　[解析] 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D.
6．A　[解析] 两个平面垂直时其法向量垂直，只有选项A中的两个向量垂直．
7．D　[解析] 线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故x2－2＝0，解得x＝±.
8．C　[解析] 先求出平面ABC的一个法向量，再把其单位化．不难求出其一个法向量是n＝(1,1,1)，单位化得s＝±.
9．C　[解析] 根据向量与平面平行、以及平面的法向量与直线的方向向量之间的关系进行判断．
a·b＝0说明向量b垂直于平面α的法向量，故向量b与平面α共面，此时向量b所在的直线平行于平面α或在平面α之内；反之a·b＝0.
10．±　[解析] 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±.
11．①②③　[解析] 如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|且a·b＝c·b＝0.＝－＝(b＋c)－(a＋b)＝(c－a)，·＝(c－a)·b＝(c·b－a·b)＝0，故AD⊥MN；＝c－a＝2，故MN∥CE，故MN∥平面CDE，故①②③正确；④一定不正确．

12．平行　[解析] 由AE⊥DE，BE⊥DE，则∠AEB是二面角A－DE－B的平面角，即∠AEB＝45°，又AB⊥平面BCDE，所以AB＝BE.以B为坐标原点，分别以BC，BE，BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设AB＝BE＝a，BC＝b，则
A(0,0，a)，E(0，a,0)，M，N，
∴＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，
由此，得＝－－，从而MN∥平面ABE.
13.，－，4　[解析] 由题知：⊥，⊥.
所以
即
解得x＝，y＝－，z＝4.

14．[解答] 证明：以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC＝a.
(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，＝.所以＝2，这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
＝，故·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE，
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.
15．[解答] 依条件可知AB，AC，AA1两两垂直．如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.

根据条件容易求出如下各点坐标：
A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(－1,0,0)，A1(0,0,2)，B1(0,2,2)，C1(－1,0,2)，M(0,1,2)，N.
(1)证明：因为＝(0,2,0)，＝(－1,0,2)，所以·＝0×(－1)＋2×0＋0×2＝0.
所以⊥，即AB⊥AC1.
(2)证明：因为＝，＝(0,2,0)是平面ACC1A1的一个法向量，
且·＝－×0＋0×2－2×0＝0，
所以⊥.
又MN⊄平面ACC1A1，
所以MN∥平面ACC1A1.
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，由题意得，G(0,4,0)，则＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，因此可得平面BOE的一个法向量为n＝(0,3,4)，＝(－4,4，－3)，得n·＝0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE.

(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，则＝(x0－4，y0，－3)，因为FM⊥平面BOE，所以有∥n，因此有x0＝4，y0＝－，即点M的坐标为，在平面xOy中，△AOB的内部区域满足不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.