2021-超常思维竞赛-8年级-数学真题（含答案）.doc

2021 年超常思维竞赛 数学 初二年级

考试时间：100 分钟 满分 150 分
1. 如图所示，左侧有一组排列好的方格，经过空间平面的顺时针或逆时针方向旋转之后，成为五个选项中的一组，那么正确的一组方格为( ).

2. 若一切非零实数𝑥和𝑦满足𝑥 = 1，则(𝑥 − 1) (𝑦 + 1) =（ ）.
𝑦 𝑥 𝑦
A.2𝑥2 B.2𝑦2 C.𝑥2 + 𝑦2 D.𝑥2 − 𝑦2 E.𝑦2 − 𝑥2

3. 正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为 36，点𝐸在𝐴𝐵边上且到𝐵的距离为 12，点𝐹为𝐵𝐶边的中点，点𝐺在𝐶𝐷边上且到𝐶的距离为 12. 则在△ 𝐸𝐹𝐺之内且在△ 𝐴𝐹𝐷之外区域的面积为( ).
A.133 B.144 C.155 D.166 E.177

4. 如果4(√𝑥 + √𝑦 − 1 + √𝑧 − 2) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 9，那么𝑥𝑦𝑧的值是().
A.0 B.2 C.15 D.120 E.150

5. 在 20182 + 2016 × 2017 × 2019 × 2020；20192 + 2017 × 2018 × 2020 × 2021；20202 + 2018 ×
2019 × 2021 × 2022；20212 + 2019 × 2020 × 2022 × 2023这四个数中共有( )个是完全平方数.
A.0 B.1 C.2 D.3 E.4

6. 若√𝑎 + √𝑏 = 1，又√𝑎 = 𝑚 + 𝑎−𝑏 ，√𝑏 = 𝑛 − 𝑎−𝑏，其中𝑚，𝑛均为有理数，则有( ).

1

A.𝑚𝑛 = 1
2
2

B.𝑚2 + 𝑛2 = 1
2
2

C.𝑚 + 𝑛 = 1
2

D.𝑚 − 𝑛 = 1
2

E.𝑚2 − 𝑛2 = 1
4

7. 把一个矩形剪去一个正方形，所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边之比为( ).

A.(1 + √5)：2 B.3：2 C.(1 + √3)：2

D.(1 + √6)：2 E.(1 + √5)：(1 − √3)

8. 设𝑥 > 0，𝑦 > 0，√𝑥(√𝑥 + 2√𝑦) = √𝑦(6√𝑥 + 5√𝑦)，则

𝑥 + √𝑥𝑦 − 𝑦 2𝑥 + √𝑥𝑦 + 3𝑦

的值为( ).
A.1
4

B.1
3

C.1
2


D.1 E.2

9. 根式

810 + 410
√
84 + 411
的值等于（ ）.

A.√2 B.16 C.32 D.12 E.512. 5

10. 如图所示，已知菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的两条对角线长分别为𝑎，𝑏，分别以每条边为直径向菱形内作半圆，则四条半圆弧围成的花瓣形面积(阴影部分的面积)为( ).

A. 𝜋(𝑎2 + 𝑏2) B.1 𝜋(𝑎2 + 𝑏2) − 𝑎𝑏 C.1 𝜋(𝑎2 + 𝑏2) − 𝑎𝑏
8 2 2 2

D.1 𝜋(𝑎2 + 𝑏2) + 𝑎𝑏 E.1 𝜋(𝑎2 + 𝑏2) + 𝑎𝑏
8 2 2

11. 两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的体积之比是𝑝：1，而在另一个瓶子中是𝑞：1.若把两瓶溶液混合在一起，则混合溶液中的酒精与水的体积之比是( ).

A. 𝑝+𝑞
2
B.𝑝2+𝑞2
𝑝+𝑞
C.2𝑝𝑞
𝑝+𝑞
D.2(𝑝2+𝑝𝑞+𝑞2)
3(𝑝+𝑞)
E.𝑝+𝑞+2𝑝𝑞
𝑝+𝑞+2

12. 小明将一块正方形的钟面画成一块投镖的靶板，利用“钟点位置”作为边界线(如图). 如果𝑡是 8 个三
角形之一(例如，12 点与 1 点间的区域)的面积，𝑞是 4 个角上的四边形之一(例如，1 点与 2 点间的区域)的
面积，那么𝑞 =( ).
𝑡

A.2√3 − 2 B.3
2
C.√5+1
2
D.√3 E.2

13. 一矩形𝑅的边长为𝑎和𝑏，其中𝑎 < 𝑏，要得到边长为𝑥，𝑦(𝑥 < 𝑎，𝑦 < 𝑎)的矩形，使其周长为𝑅的周长的
1，面积为𝑅的面积的1，这样的不同矩形的个数为( ).
3 3
A.0 B.1 C.2 D.4 E.无限多

14. 已知周长为28𝑐𝑚的长方形𝐴𝐵𝐶𝐷，如图所示，以𝐴为圆心，𝐴𝐷为半径画弧交𝐴𝐵于𝐴1，以𝐵为圆心，𝐵𝐴1为半径画弧交𝐵𝐶于𝐴2，依此类推，即依次以𝐶，𝐷，𝐴，𝐵为圆心，用同样方法画弧，分别得交点𝐴3，𝐴4，𝐴5，
𝐴6，若点𝐴6与点𝐶重合，则长方形的长和宽分别为( ) 𝑐𝑚.

A. 2，2 B.11，3 C.10，4 D.9，5 E.8，6

15. 如图所示，两面墙间的距离为𝑤，它们之间的𝑃点处有一个梯子，梯子的长度为𝑎，梯子向一侧墙靠去，上端触墙于𝑄点，𝑄到地面的距离为𝑘，此时梯子与地面成45°角，梯子向另一侧墙靠去，上端触墙于𝑅点，𝑅到地面的距离为ℎ，此时梯子与地面成75°角，那么两墙间的距离𝑤为( ).

2

A.𝑎 B.𝑅𝑄 C.𝑘 D.ℎ+𝑘
2
E.ℎ

16. 𝑃是高为ℎ的等边三角形内部一点，设𝑃到各边的距离分别为𝑥，𝑦，𝑧，若以𝑥，𝑦，𝑧为长度的三条线段可以构成一个三角形，则𝑥，𝑦，𝑧各自所应满足的条件是( ).
A. 𝑥 < ℎ，𝑦 < ℎ，𝑧 < ℎ B.𝑥 < ℎ ，𝑦 < ℎ ，𝑧 < ℎ
2 2 2

C.𝑥 ≤ ℎ ，𝑦 ≤ ℎ ，𝑧 ≤ ℎ D.𝑥 < ℎ ，𝑦 < ℎ ，𝑧 < ℎ
2 2 2 3 3 3

E.𝑥 ≤ ℎ ，𝑦 ≤ ℎ ，𝑧 ≤ ℎ
3 3 3

17. 如图所示，把正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶分成𝑛段，以每一段为对角线作正方形，设这𝑛个小正方形的周长为𝑝，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为𝑙，则𝑝与𝑙的关系是( ).

A.𝑝 > 𝑙 B.𝑝 ≥ 𝑙 C.𝑝 = 𝑙 D.𝑝 ≤ 𝑙 E.𝑝 < 𝑙

18. 若𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 30，3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 50，其中𝑥，𝑦，𝑧皆为非负数，则𝑀 = 5𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧的取值范围是( ).
A.100 ≤ 𝑀 ≤ 110 B.110 ≤ 𝑀 ≤ 120
C.120 ≤ 𝑀 ≤ 130 D.130 ≤ 𝑀 ≤ 140
E.𝑀的范围无法确定
19. 如图所示，展示了 12 个排成一圈的30° − 60° − 90°三角形，并使每个三角形的斜边恰好为相邻下一个大三角形的较长直角边. 图中第 4 个和最后一个三角形以阴影标记，其周长之比可以表示为𝑚，其中 m 和 n
𝑛
为互素正整数. 则𝑚 + 𝑛的值为（ ）.

A.333 B.334 C.335 D.336 E.337

20. 已知存在正整数𝑚和𝑛，使得𝑥 = 𝑚 + √𝑛是等式𝑥2 − 10𝑥 + 1 = √𝑥(𝑥 + 1)的一个解，则𝑚 + 𝑛的值为（ ）.
A.11 B.22 C.33 D.44 E.55

21. 如图所示，𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐵𝐹//𝐴𝐶，𝐴𝐸𝐹𝐶是菱形，则∠𝐴𝐶𝐹与∠𝐹的度数之比是（ ）.

A.7：1 B.6：1 C.5：1 D.4：1 E.3：1

22. 已知𝑎 = 3√4 + 3√2 + 1，那么，3 + 3 + 1 的值是（ ）.

3

A. 3√2

B.1
3
𝑎 𝑎2
𝑎3

C.1
4

D.1
5


E.1

23. 正方形 A 与正方形 B 毗邻，正方形B 又与正方形C 毗邻. 如图所示，这 3 个正方形的底边都在同一条直线上，其左上角的顶点共线. 若 A 的面积为 24，B 的面积为 36，则 C 的面积为（ ）.
A.48 B.50 C.52 D.54 E.以上都不对

24. 各边不相等的△ 𝐴𝐵𝐶的两条高的长度分别是 4 和 12，若第三条高的长度也是整数，则它的最大值是（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7 E.以上都不对

25. 如图中的(1)(2)(3)(4) 是同样的小等边三角形， (5)(6) 也是等边三角形且边长为(1) 的 2 倍， (7)(8)(9)(10)是同样的等腰直角三角形，(11)是正方形. 那么，以(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)为平面展开图的立体图形的体积是以(1)(2)(3)(4)为平面展开图的立体图形体积的（ ）倍.

A.2 B.4 C.8 D.16 E.以上都不对

26. 𝑛为正整数，若2𝑛有28个正因子，3𝑛有30个正因子，则6𝑛的正因子的个数为（ ）.
A.32 B.33 C.34 D.35 E.36

27. 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的尺寸为70 × 40，对角线𝐴𝐶上标记的 18 个点(包括𝐴和𝐶)将对角线分成 17 等份，𝐴𝐵边上标
记的 22 个点(包括𝐴和𝐵)将该边分成 21 等份. 我们进而构建如图所示的 17 个无交叠的三角形，每个三角形
的 2 个顶点即为矩形边上相邻的 2 点，而另一顶点则是矩形对角线上的一点. 如此，在矩形边的 21 等份中，只有左侧 17 等份被用来作为这些三角形的底. 则这 17 个三角形的面积之和为（ ）.

A.600 B.700 C.800 D.900 E.1000

28. 小明的父亲在小明过生日时送给小明一个𝐿形的生日蛋糕. 小明的父亲让小明只用一刀将蛋糕切为三块，以便将蛋糕分给小明的弟弟及妹妹. 因此，小明可以如图(a)(b)的方式切，但不可以如图(c)的方式切.

但小明的父亲说切完后，必须让弟弟和妹妹先挑选，他们一定是挑比较大块的，而小明只能挑选最后剩下的那块. 所以小明要设法使切完后的三块蛋糕中，最小的那块要越大越好. 若小明达成了目标，则小明能分到的那块蛋糕的面积为（ ）𝑐𝑚2.
A.60 B.70 C.80 D.90 E.400
3

29. 环形跑道周长为 400 米，甲、乙两人同时同地顺时针沿环形跑道跑，甲每分钟跑 52 米，乙每分钟跑 46
米，甲、乙两人每跑 100 米休息 1 分钟. 问：甲需（ ）分钟追上乙.

A.147 1
3
B.145 2
13
C.142 3
13
D.139 4
13

E.以上都不对

30. 一间4𝑚 × 4𝑚房间的地板可以被8块1𝑚 × 2𝑚的地毯以不同形式覆盖，如图所示的三种不同的形式如下：

则共有（ ）种不同的覆盖形式.
A.28 B.32 C.36 D.40 E.以上都不对

2021 年超常思维竞赛 数学 初二年级答案

考试时间：100 分钟 满分 150 分

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
B
D
E
B
A
C
B
B
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
E
A
A
E
E
B
BCD
C
E
E
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
C
E
D
B
D
D
A
C
ABCD
C