数值分析第5章习题.doc

1. 过点的插值多项式P(x)是（）次的多项式
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
考查知识点：插值多项式的基本概念
答案：B

2. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（）
A. B.
C. D.
考查知识点：拉格朗日插值基函数的性质
答案：D

3. 设和分别是满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别是和，则（B.）
考查知识点：插值多项式的存在唯一性
A. B.
C. D.
解析：插值多项式存在唯一性定理可知，满足同一插值条件的拉格朗日插值多项式和牛顿插值实际上是同一个多项式，故，余项也相同。

4. _______
考查知识点：差分的概念
答案：

5. 为 与

6. （拉格朗日插值）
解：

7. 设，则关于节点的二阶向前差分为_2_。
考查知识点：各阶前向差分的应用
解析：由节点可求出对应的函数值，如下表：

0
0

1
1
1

2
4
3
2

8. 已知中有，求的拉格朗日插值多项式。（拉格朗日插值）
解法一（待定系数法）：设，由插值条件，有

解得：。
故 。
解法二（基函数法）：由插值条件，有

9.设，取作出关于的差商表，给出关于的Newton插值多项式，并给出插值误差。
考查知识点：牛顿插值公式

解析：差商表为

-1
-1

-0.8
0.16032
5.8016

0
1
1.0496
-4.725

0.5
1.15625
0.3125
-0.567
2.79

1
3
3.6875
3.375
2.19
-0.3

Newton插值多项式：

10. 已知函数的函数表如图所示，试列出向后差分表，并写出牛顿的向后差值公式，用其估计出。
考查知识点：各阶后向差分的运用
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f(x)
1.00
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
解析：

0.0
1.00

0.1
1.32
0.32

0.2
1.68
0.36
0.04

0.3
2.08
0.40
0.04
0

0.4
2.52
0.44
0.04
0
0

0.5
3.00
0.48
0.04
0
0
0

=
=
由x=0.45得t=

11.
x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.357765
-0.223144
解：

12.设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
解：，，，，
设，

解得：，，，。
故 。
，其中，。

12. 设f(x)在各点处的数据，求f(x)在x=0.36,0.98处的近似值。(用分段插值)
i
0
1
2
3
4
5

0.30
0.40
0.55
0.65
0.80
1.05

0.30163
0.41075
0.57815
0.69675
0.87335
1.18885

考查知识点：分段插值
解：分段线性Lagrange插值的公式为

14. 已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
解：根据给定函数表构造均差表

由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)
由此可得
f(0.23) N3(0.23)=0.23203
由余项表达式(5.15)可得

由于

15. 已知在处的函数值，求及的近似值并估计误差。
考查知识点：等距节点插值公式
解：首先构造查分表如下：

0
1.00000

0.1
0.99500
-0.00500

0.2
0.98007
-0.01493
-0.00993

0.3
0.95534
-0.02473
-0.00980
0.00013

0.4
0.92106
-0.03428
-0.00955
0.00025
0.00012

（1） 用牛顿前插公式计算的近似值
前插公式：
取，代入公式得

误差估计
其中
。

（2） 用牛顿后插公式计算的近似值
后插公式：
取，代入公式得

误差估计
其中
。

出题情况(电信)
张楠 2
张爽 13
李锋 15
陆亚男 3,7,9
张云雪 10
宋剑 1,4

出题情况（营销）
8陈飞
11李欣雨
6周莹舒
5张明晓
12张慧
14李墩芝、王雪松