怎么用面积证明勾股定理.doc

用面积证明勾股定理
　　方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
　　　　　　 图（1）中，所以。

　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
　　　　　　 图（2）中，所以。

　　方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

　　　　　　 在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
　　　　　　 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
　　　　　　 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.
　　方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

　　　　　　 ，所以。

练习题

（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．　
49、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

50 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。
求证：DE2=AD2+BE2。

51 如图，在△A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC边上的高A D= 。

52 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是 。

53 在△ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长.

54 在△A BC中，D是BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC的面积。

55. 若△ABC三边a、b、c 满足 a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形吗？为什么？

56. 在△ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，则△ABC是否为直角三角形？为什么？
注意BC、AC、AB的大小关系。AB＜BC＜AC。
AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。

57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点
C1处，如图，已知长方形长6cm，宽5 cm，高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形
的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着
怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？

58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm，有一70dm的木棒，能放进去吗？请说明理由。

59. 已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？

60. 如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长AB到F，使BF=AB，那么FE与FA 相等吗？为什么？

61. 如图，∠A=60°, ∠B=∠D=90°。若BC=4，CD=6，求AB的长。

62．如图，∠xoy=60°，M是∠xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。求OM的长。

带答案版的
用面积证明勾股定理
　　方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
　　　　　　 图（1）中，所以。

　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
　　　　　　 图（2）中，所以。

　　方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

　　　　　　 在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
　　　　　　 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
　　　　　　 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.
　　方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

　　　　　　 ，所以。

50 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。
求证：DE2=AD2+BE2。

分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。
51 如图，在△A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC边上的高A D= 。

答案12。
52 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是 。

设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3，
S=4*8/2-3*4/2=10
答案：10

53 在△ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长.
答案25或7
54 在△A BC中，D是BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC的面积。
答案84或36

55. 若△ABC三边a、b、c 满足 a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形吗？为什么？

56. 在△ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，则△ABC是否为直角三角形？为什么？

注意BC、AC、AB的大小关系。AB＜BC＜AC。
AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。

57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点
C1处，如图，已知长方形长6cm，宽5 cm，高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形
的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着
怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？

58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm，有一70dm的木棒，能放进去吗？请说明理由。

59. 已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？
答案： 是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）
=。
60. 如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长AB到F，使BF=AB，那么FE与FA 相等吗？为什么？

61. 如图，∠A=60°, ∠B=∠D=90°。若BC=4，CD=6，求AB的长。

62．如图，∠xoy=60°，M是∠xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。求OM的长。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　过点Ｄ作ＦＥ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长线于点Ｅ，交ＢＣ的平行线ＡＦ于Ｆ点。
ＡＢ＝ＥＦ，ＤＥ＝，ＣＥ＝３（在直角三角形中，３０°角所对的边＝斜边的一半），　∴ＡＦ＝ＢＥ＝７。在Ｒt△ＡＤＦ中，ＦＤ＝
∴ＡB=DE+FD=

答案.　延长ＡＭ交oy于Ｍ′，ＭＭ′＝２２　∴ＡＭ′＝２４　ＯＢ＝ＯＭ′－Ｍ′Ｂ
＝　　　∴在Ｒt△ＯＭＢ中，ＯＭ＝　

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