二次函数与一元二次方程(导学案).doc

22.2 二次函数与一元二次方程
年级：九年级 科目：数学 课型：新授课 主备：赵艳梅 审核:九年级数学组
学习目标:
1.在学习活动中通过合作、探究、交流,能准确判断二次函数的图像与x轴的交点的个数的情况，理解二次函数的图像与一元二次方程的根的关系。
2.通过实例学习和练习会用一元二次方程解决二次函数的图象与x轴的交点问题，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
3.通过本课的学习体会数形结合的思想,并能根据具体问题的特点灵活地运用数形结合来解决问题。
学习重难点:
1.理解二次函数的图像与一元二次方程的根的关系。
2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,会用一元二次方程解决二次函数的图象与x轴的交点问题。
学习过程:
教师寄语: 时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.
一.复习回顾
1.二次函数的一般形式：
2.一元二次方程的一般形式：
二.情景引入
(用数学知识解决生活中的问题,让我们的生活充满智慧.)
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等．利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有现实的意义。本节课，我们
将共同研究解决这些问题的
方法，探寻其中的奥秘。
例如，实际问题
如图：以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h=20t–5t2
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?

三.自主学习
活动一.
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。
2.在式子h=20t–5t2中，
如果h=15，那么20t–5t2= ,此时t= ；
如果h=20，那么20t–5t2= ,此时t= ；
如果h=0， 那么20t–5t2= ,此时t= 。
活动二.
参考活动一,自学课本43-44页,解决情景引入的实际问题.

四.合作探究
活动三.
1. 学习小组交流：自主学习中发现的问题和疑惑。
2. 学习小组讨论：二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?

3. 边观察边思考：
（1）、二次函数y =x2+x-2 , y =x2-6x+9 , y = x2–x+1的图象如图所示。（图象见课件,共三幅图）
①每个图象与x轴有几个交点？
②一元二次方程 x2+x-2=0 , x2-6x+9=0有几个根?验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗?
③二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(2)、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况,则b2-4ac的情况如何。（图象见课件,展示三种情况）

活动四. 归纳小结:二次函数与一元二次方程的关系(课件展示)
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0;那么当x=x0时，函数值为 ;因此x= 就是方程y=ax2+bx+c的一个根.
★当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的解；二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h的交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=h的解。
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况如何？（b2-4ac如何）
温馨提示: 上面的过程就是利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法.(阅读教材46页)

五.精讲点拨
课堂小结: 二次函数与一元二次方程的关系.
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac

典例讲解
例1、抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点 ,与x轴交于点　　 .方程2x2-3x-5=0的根为　　　 。

例2、一元二次方程 3x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是 。

例3、根据下列表格的对应值:
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A 3 < X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24
C 3.24 < X < 3.25 D 3.25 < X < 3.26

六.跟踪训练
(先独立完成,再全班交流,最后点评总结)
1.已知抛物线y＝x2－mx＋m－1.
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；
(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。
(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
２、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的条件是 。　　　　

七.当堂检测
比一比，看谁算的又快又准。
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A y=2x2–3 B y=-2x2+3
C y=-x2–2x D y=-2(x+1)2 -3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个交点.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图（课件）,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 。 .