非线性微分方程解的稳定性.pptx
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1、本论文内容提要一、非线性方程的基本概念二、李雅普诺夫函数的稳定性三、按线性近似决定微分方程的稳定性四、李雅普诺夫第二方法五、结论一、非线性微分方程的基本概念 1.1.自然界绝大部分现象是非线性现象,非线自然界绝大部分现象是非线性现象,非线 性现象是一种非常复杂的现象。性现象是一种非常复杂的现象。2.2.绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。3.3.线性问题是非线性问题的基础线性问题是非线性问题的基础,在一定条件在一定条件 下,非线性问题在局部可以转化为线性问题下,非线性问题在局部可以转化为线性问题 来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一来讨论。非线性问题的
2、大范围分析仍然是一 个难题。个难题。19世纪末20世纪初Poincare(法国)创立微分方程定性理论Liapunov(俄国)创立微分方程稳定性理论Logistic方程 LogisticLogistic方程方程方程方程两个常数解(平衡解):问题:该方程的其它解与这两个平衡解有何关系?具体地说,初值在两个平衡解附近的解的长期行为怎样?这就是解的稳定性问题。现在假设那么容易得到满足初值条件的特解为微分方程解的稳定性严格定义:考虑微分方程组或其向量形式其中注:对 阶方程 可取变换 化为(1)式的特殊形式问题:(1)式的解存在唯一吗?解能延拓吗?解对初值、参数有连续依赖性和可微性吗?当向量值函数 满足下
3、面的Lipschitz条件时,上述问题的回答是肯定的。这一点从前面的基本定理可以推得。L 称为利普希茨常数,范数定义为二、李雅普诺夫函数的稳定性 如果对于任意给定的 和 都存在 只要使得 就有 对一切 成立,则称微分方程 的解是稳定的,否则是不稳定的。定义1 如果对任意给定的 存在 (一 般与 和 有关),使得当任一 满足 时,方程组(3)满足初始条件 的 解,均有 对一切 成立,则称方程组(3)的零解 为稳定的。定义2 如果方程组(3)的零解 稳定,且存在这样的 ,使当 时,满足初始条件 的解 均有 ,则称零解 为渐近稳定的。定义3 如果 渐近稳定,且存在域 ,当且仅当 时满足初始条件 的解
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