从力做的功到向量的数量积.doc

《平面向量数量积的物理背景及其含义》学案
（一）．目标
（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；
（3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
（二）教学过程
1．已经学习了哪几种向量运算？
向量运算
数学符号
运算结果

2．两个非零向量与的夹角如何定义？其取值范围是多少？
问题1、大力士拉车，沿着绳子方向上的力为，车移动的位移是，力和位移的夹角为，大力士所做的功为多少？

问题2、决定功大小的量有哪几个？

问题3、力、位移及其夹角分别是矢量还是标量？功是向量还是数量？

问题4：由数量积的定义可知，决定数量积大小的量有哪些？

问题5：数量积的结果为数量，数量积的正、负、零有谁决定？

（三）巩固定义
1、已知，，与的夹角， 。
2、已知正三角形的边长为，求：
（1） ；（2） ；（3） ；
3、依据数量积的定义完成以下问题（与是非零向量）。
（1） ；
（2）若与同向，则 ；若与反向，则 ；特别地， ；
（3） ；
（4） 。
向量运算
数学符号
运算结果
加法

向量
减法

向量
数乘

向量

问题6：向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义，数量积运算有没有几何意义？

问题7：投影是向量还是数量？其正、负、零由谁决定？

问题8、你能从投影的角度解释平面向量数量积的定义吗？

问题9、数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？类比实数乘法运算律，写出数量积的运算律，并判断对错？
运算律
实数乘法
平面向量数量积
交换律

结合律

分配律

运算律
平面向量数量积
交换律

结合律

分配律

（四）典例分析
例1、证明：（1）；（2）。

例2、已知，，与的夹角，求。

例3、已知，，且与不共线。为何值时，向量与互相垂直？

（五）巩固练习
1、判断下列说法是否正确。
（1）； （ ）
（2）若，则，至少有一个为零向量； （ ）
（3）若，则与的夹角为锐角； （ ）
（4）若，则。 （ ）
2、在等腰中，，，则 。
3、已知，，与的夹角，求。

（六）课堂小结
今天你学到了什么？
学生自主完成归纳小结，教师加以补充完善，同时形成本节课的知识结构图，并完成思想方法的小结归纳。
1．平面向量数量积的定义：
2．平面向量数量积的性质：
（1）垂直；（2）长度；（3）夹角。
3．平面向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
4．平面向量数量积的运算律（类比）：（1）交换律：；（2）结合律：；（3）分配律：。
（七）作业布置
1、必做题：习题2.4 A组 第1,3,7题
2、课外探究：
通过查阅图书资料或利用网络资源，完成向量的另一种乘法——矢量积（“”积）的概念的学习和性质的探究，并探索出自己的成果形成小论文.

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