第二章第十二节导数的应用（一）.doc

一、选择题
1．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所 示，则(　　)
A．f(x)在x＝1处取得极小值
B．f(x)在x＝1处取得极大值
C．f(x)是R上的增函数
D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数
解析：由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．
答案：C
2．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
解析：由y＝4x2＋得y′＝8x－，令y′>0，即8x－>0，解得x>，
∴函数y＝4x2＋在上递增．
答案：B
3．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
解析：f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．
答案：C
4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.
∴a≤3，故amax＝3.
答案：D

5．若f(x)＝，e<a<b，则(　　)
A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1
解析：f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．
答案：A
二、填空题
6．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋x2，则函数f(x)的单调增区间为________．
解析：因为f(x)＝x(ex＋1)＋x2，所以f′(x)＝ex＋1＋xex＋x＝(ex＋1)·(x＋1)．
令f′(x)>0，即(ex＋1)(x＋1)>0，解得x>－1.
所以函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
7．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.∴m>6或m<－3.
答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)
三、解答题
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．
解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，
∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－.
即解得
∴f(x)＝x3－x2－3x，
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

∴当x＝－1时，f(x)取极大值.
9．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)>0，得ex>a，
当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；
当a>0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
即a的取值范围为(－∞，0]．
10．已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋b在x＝－1处的切线与x轴平行．
(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象与抛物线y＝x2－15x＋3恰有三个不同交点，求b的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，
由f′(－1)＝0，解得a＝－9.
则f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1,3)．
(2)令g(x)＝f(x)－＝x3－x2＋6x＋b－3，
则原题意等价于g(x)＝0有三个不同的根．
∵g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
∴g(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减．
则g(x)的极小值为g(2)＝b－1<0，
且g(x)的极大值为g(1)＝b－>0，
解得<b<1.
∴b的取值范围.