点拨八年级数学上（R版）期末选优拔尖自测卷.docx

期末选优拔尖自测卷
一、选择题
1.下列运算正确的是（ ）
A． B．a÷b×=a
C． D．
2.若等腰三角形有两条边的长分别是3和1，则此等腰三角形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．6
3.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式．下列四个代数式：①；②；③；④．其中是完全对称式的是( )
A．①②④ B．①③ C．②③ D．①②③
4.若,则的值是（ ）
A． B． C． D．
5.若n为整数，则能使也为整数的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.〈湖北仙桃〉如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm

图1 图2 图3
7.如图2所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
8.如图3所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②AD=BE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④
C．①③④ D．①②③
二、填空题
9.因式分解： =___________．
10.计算： =___________．
11.按图4所示程序计算：
a→×2→→÷a→→结果
图4 请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简：_________．
12.如图5，将△ABC纸片沿DE折叠，图中实
线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3，
若图中实线围成的阴影部分面积为2，则 图5
重叠部分的面积为__________.
13.〈辽宁沈阳〉已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是__________．
14.在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），若△ABC的面积为6，且点C在坐标轴上，则符合条件的点C的坐标为___________．
15.如图6所示，在平面直角坐标系中，点A(2，2)关于y轴的对称点为B，点C关于y轴的对称点为D．把一条长为2 014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是__________．

图6 图7

16.如图7的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若，则∠A的度数是________．
三、解答题
17.如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在两个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
18.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．

19.在解题目：“当a=2 014时，求代数式的值”时，小明认为a只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果，你认为他说的有道理吗？请说明理由．

20.已知M=，当式中的、y各取何值时，M的值最小？求此最小值.

21.是否存在实数，使分式的值比分式的值大1？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

22.如图10所示，AB∥DC，AD⊥CD，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，试探求AB、CD与BC的数量关系，并说明你的理由.

图10

23.如图11，某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里
（1）判断△BCD的形状；.

图1
（2）求该船从A处航行至D处所用的时间；

（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，观测灯塔B，灯塔B在什么方向上？

24.某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为300 m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．
(1)求原计划每天铺设路面的长度；

(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25 000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．
25.如图12所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．

图12
（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

26.数学课上，老师出示了如下框中的题目，
在等边三角形ABC中，点E在AB上，
点D在CB的延长线上，且ED＝EC，
如图13，试确定线段
AE与DB的数量关 图13
系，并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图14（1），确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”）．

图14
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的数量关系是：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”），理由如下：如图14（2），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．（请你直接写出结果）

参考答案及点拨
期末选优拔尖自测卷
一、1.C 点拨：因为，所以A错误；因为a÷b×=a××=，所以Ｂ错误；因为，所以C正确；因为，所以D错误．应选C．
2.B 点拨：分底边长为3和底边长为1两种情况讨论．
（1）若底边长为1，则这个等腰三角形的周长为7；（2）若底边长为3，这个等腰三角形不存在．故选B．
3.A 点拨：根据完全对称式的定义可知、、是完全对称式，而不是完全对称式，应选A．
解答本题的关键是按照新定义，将四个代数式进行变换，然后对照确定正确选项．
4.A 点拨：方法1:由得，
所以原式

方法2：由得，,
所以原式.
5.D 点拨：原式，要使为整数，则必须为整数，因此或或或，解得或或2或0；因此整数n的值有4个， 应选D．
6.C 点拨：如答图1，连接MA、NA.∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM=∠CAN=30°，∴∠AMN=∠ANM=
60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN=BC=2 cm，故选C．

答图1
7.B 点拨：在Rt△AED中，因为∠D＝30°，所以∠DAE＝60°；在Rt△ABC中，因为∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，所以∠B＝30°；在Rt△BEF中，因为∠B＝30°，EF＝2，所以BF＝4；
连接AF，因为DE是AB的垂直平分线，所以FA＝FB＝４，∠FAB＝∠B＝30°；因为∠BAC＝60°，所以∠DAF＝30°，因为∠D＝30°，所以∠DAF＝∠D， 所以DF＝AF＝４.故应选B.
8. A 点拨：由正△ABC和正△CDE，可知AC=BC，∠ACB=
∠DCE=60°，CD=CE，所以∠ACD=∠BCE，所以△ACD≌△BCE，从而AD=BE，∠CAD=∠CBE；在△ACP和△BPO中，因为∠APC=∠BPO，∠CAD=∠CBE，所以由三角形内角和定理可得∠AOB=
∠ACB＝60°；由条件可证△PCD≌△QCE，所以PC＝QC，又∠PCQ＝60°，所以△CPQ是等边三角形．应选A．
二、9. 点拨：原式．因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑运用乘法公式分解，同时注意要分解到不能分解为止．
10. 2 点拨：原式．在无括号的实数混合运算中，先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算．
11. 点拨：由流程图可得．
12. 2 点拨：设重叠部分的面积为, 则实线围成的图形面积为2+，三角形ABC面积为2+2．由题意得，解得=2．
13. 1和7 点拨：点P可在三角形内和三角形外，需要分情况求解．设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为，△ABC的高为h．（1）当点P在等边三角形ABC内时：连接PA、PB、PC，利用面积公式可得，则，所以点P到BC的最小距离是1；（2）当点P在等边三角形ABC外时（只考虑P离BC最远时的情况）：同理可得，此时.综上可知，点P到BC的最小距离和最大距离分别是1和7.
14.（）、（）、（）、（）点拨：分点C在轴上和点C在y轴上两种情况讨论，可得符合条件的点C的坐标．（1）当点C在轴上时，设点C的坐标为()，则，解得=6或，因此点C的坐标为（）、（）；（2）当点C在y轴上时，设点C的坐标为(0，y)，则，解得y=或9，因此点C的坐标为（）、（）；综上得点C的坐标为（）、（）、（）、（）.
15.（） 点拨：因为A(2，2)关于y轴的对称点为B，所以点B的坐标为（）；因为C（）关于y轴的对称点为D，所以点D的坐标为（），所以四边形ABCD的周长为20，因为2 014÷20=100……14，说明细线绕了100圈，回到A点后又继续绕了14个单位长度，故细线另一端到达点的坐标为（）.本题利用周期的规律求解，因此求得细线绕四边形ABCD一圈的长度是解题的关键.
16. 12° 点拨：设∠A=，∵，
∴∠A=∠=∠=，∴∠=∠=2，
∴∠=∠=3，…，∠=∠=7，
∴∠=7，∠=7，
在△中，∠A+∠+∠=180°，即+7+7=180°，
解得=12°，即∠A=12°．
三、17. 解：如答图2所示，画出其中任意两个即可．

答图2
点拨：对称轴可以是过正方形对边中点的直线，也可以是正方形对角线所在的直线．本题可以通过折叠操作找到对称轴，从而确定轴对称图形．
18. 解：∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=，
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，∴∠CED=∠A+∠ACE=40°+32°=72°，∵DF⊥CE，CD⊥AB，∴∠CFD =∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=∠CED =72°．
19. 解：小明说的有道理．
理由：
所以只要使原式有意义，无论a取何值，原式的值都相同，为常数3．
20. 解：M，
因为≥0，≥0，所以当且，即且时，M的值最小，最小值为5.
21. 解：不存在.
理由：若存在，则.
方程两边同乘，得，
解这个方程，得.
检验：当时，，原方程无解．
所以，不存在实数使分式的值比分式的值大1．
点拨：先假设存在，得到分式方程，再解分式方程，由分式方程的结果可说明理由.
22. 解：AB+CD=BC.
理由：如答图3，过点E作EF⊥BC于点F.
因为AB∥DC，AD⊥CD，
所以AD⊥AB.
因为BE平分∠ABC，所以EA=EF.
在Rt△ABE和Rt△FBE中，因为EA=EF，BE=BE，
所以Rt△ABE≌Rt△FBE.
所以AB=BF.
因为E是AD的中点，所以AE=ED，所以ED=EF.
在Rt△EDC和Rt△EFC中，因为ED=EF，EC=EC，
所以Rt△EDC≌Rt△EFC.
所以DC=FC.
所以AB+DC=BF+CF=BC，即AB+CD=BC.

答图3
23. 解：（1）由题意得：∠BCD=∠BDC=60°，∴∠CBD=60°.
∴△BCD是等边三角形.
（2）由题意得：∠BAC=30°，∠ACB=120°，
∴∠ABC=∠BAC=30°，
∴AC=BC= BD=60海里，
∴AD= AC+ CD=60+60=120（海里），
∴t=120÷15=8（小时）.
∴该船从A处航行至D处所用的时间为8小时.
（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，连接BE.
此时AE=15×6=90（海里），∴CE=90-60=30（海里）.
∴CE=DE=30海里.
∵△BCD是等边三角形，
∴BE是CD的垂直平分线.
∴灯塔B在该船的正北方向上.
24. 解：(1)设原计划每天铺设路面的长度为 m．
根据题意得．解之得＝9．
经检验：＝9是原方程的根,且符合题意．
答：原计划每天铺设路面的长度为9 m．
(2) 所准备的流动资金够支付工人工资．
理由：共支付工人工资为
(元) ．
因为＜，所以所准备的流动资金够支付工人工资．
25. 解：（1）①因为t=3秒，
所以BP=CQ=1×3=3(厘米)，
因为AB=10厘米，点D为AB的中点，
所以BD=5厘米．
又因为PC=，BC=8厘米，
所以PC=(厘米)，
所以PC=BD．
因为AB=AC，所以∠B＝∠C，
所以△BPD≌△CQP．
②因为≠，所以BP≠CQ，
当△BPD≌△CPQ时，因为∠B＝∠C，AB=10厘米，BC=8厘米，
所以BP=PC=4厘米,CQ=BD=5厘米，
所以点P，点Q运动的时间为4秒，
所以厘米/秒，即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使
△BPD与△CQP全等.
（2）设经过秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得，
解得．
所以点P共运动了80厘米．
因为80=2×28+24，所以点P、Q在AB边上相遇，
所以经过80秒点P与点Q第一次在△ABC的边AB上相遇.
26. 解：（1）＝ （2）＝；
在等边三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
因为EF∥BC，
所以∠AEF=∠AFE =60°=∠BAC．
所以△AEF是等边三角形，
所以AE=AF=EF，
所以，即BE=CF.
因为ED=EC，
所以∠EDB=∠ECB，
又因为∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,
所以∠BED=∠FCE，
所以△DBE≌△EFC，
所以DB=EF，
所以AE=DB.
(3)1或3.
点拨：(1)利用等边三角形三线合一知，∠ECB=30°，又ED=EC，则∠D=30°，所以
∠DEC=120°，则∠DEB=30°=∠D,所以DB＝EB＝AE；(2)先证
△AEF为等边三角形，再证△EFC≌△DBE，可得AE=DB；(3)当E在射线AB上时，如答图4（1），AB＝BC＝EB＝1，∠EBC＝120°，所以∠BCE＝30°，因为ED＝EC，所以∠D＝30°，则∠DEB＝90°，所以DB＝2EB＝2，所以CD＝2+1＝3；
当E在射线BA上时，如答图4（2），过点E作EF⊥BD于点F，则∠BEF＝30°，所以BF＝BE＝1.5,
所以CF＝0.5，因为EC＝ED，EF⊥CD，
所以CD＝2CF＝1.
综上，CD的长为1或3．

答图4