白龙高中2015级4月月考数学试卷.doc

学校 ___________________ 班级_________________ 姓名_____________考号________________

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白龙中学高中2014级4月月考数学试卷
时间120分钟 满分150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选出并填在答题卡内．
1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（ ）
A.x=-1 B.x=3 C.x= D.x=51
2若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c等于 （ ）
A．ab B．ab C．ab D．a+b
3已知向量，，则与（　 　）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
4、若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则 （ ）
A．x=1,y=3 B．x=3,y=1 C．x=1,y=－5 D．x=5,y=－1
5. 已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝(　　)
A. 3　　　　　　　　 B. 23
C. 33 D. 3＋1
6. △ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝2)2，则符合条件的三角形有(　　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 0个
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则(　　)
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
9. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A. 518 B. 34
C. 3)2 D. 78
10.△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　　)
A. 3)2 B. 3)4
C. 3)2或3 D. 3)2或3)4
请将选择题答案填在答题卡内
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．
13已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 .
14．如果向量与共线 ,且方向相反，则的值为__________.
15．的夹角为，，则 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）.
设=a，=b，=c，且=3c，=-2b，
（1）求：3a+b-3c；
（2）求满足a=mb+nc的实数m，n.

17（13分）设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),
（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；
（2）求c在a方向上的投影；
（3）求1和2，使c=1a+2b.

18.（13分）在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边.已知a=1,b=2,cosC=.
(1)求边c的值；
（2）求sin(C-A)的值.

19.（ 12分）如图，△OAB是等边三角形，∠AOC＝45°，OC＝2，A、B、C三点共线．

(1)求sin∠BOC的值；
(2)求线段BC的长．

20（12分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝513，cos∠ADC＝35，求AD.

21（13分）.设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sin\a\vs4\al\co1(\f(π3)＋B)sin\a\vs4\al\co1(\f(π3)－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若·＝12，a＝27，求b，c(其中b<c)．
.

白龙中学高中2014级4月月考数学参考答案
一、选择题（每题5分，共50分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
A
B
B
B
A
A
D
D
5答案：B
解析：∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°.
由余弦定理可得b＝23.
6答案：B
解析：∵asinB＝10)2，
∴asinB<b＝3<a＝5，
∴符合条件的三角形有2个．
7答案：A
解析：利用正弦定理，sinC＝23sinB可化为c＝23b.
又∵a2－b2＝3bc，
∴a2－b2＝3b×23b＝6b2，即a2＝7b2，a＝7b.
在△ABC中，cosA＝b2＋c2－a22bc
＝3)b)2－(\r(7)b)22b×2\r(3)b＝3)2，
∴A＝30°.
8答案：A
解析：由正弦定理，得csin120°＝asinA，
∴sinA＝\r(322＝6)4>12.
∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.
9答案：D
解析：方法一：设三角形的底边长为a，则周长为5a，
∴腰长为2a，由余弦定理知cosα＝(2a)2＋(2a)2－a22×2a×2a＝78.
方法二：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

则AC＝2a，CD＝a2，∴sinα2＝14，
∴cosα＝1－2sin2α2
＝1－2×116＝78.
10答案：D
解析：∵sinC\r(3)＝sinB1，
∴sinC＝3·sin30°＝3)2.
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝12×1×3＝3)2，
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12×1×3sin30°＝3)4.
即△ABC的面积为3)2或3)4.
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 1 12. π6 13. 答案
14 -2 15. 10
11答案：1
解析：由正弦定理bsinB＝csinC，即1sinB＝32π3，sinB＝12.
又b<c，∴B＝π6，∴A＝π6.∴a＝1.
12答案：π6
解析：∵sinB＋cosB＝2，
∴sin(B＋π4)＝1.
又0<B<π，∴B＝π4.
由正弦定理，知2)sinA＝2sinB，∴sinA＝12.
又a<b，∴A<B，∴A＝π6.
三、解答题（共75分）
16．解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
（2）∵mb+nc=（-6m+n，-3m+8n），
∴，解得.
17．（1）证明 ∵a=(-1,1),b=(4,3),-1×3≠1×4,
∴a与b不共线，设a与b的夹角为,
cos===-.
（2）解 设a与c的夹角为,
cos===-，
∴c在a方向上的投影为
|c|cos=-.
(3)解 ∵c=1a+2b,∴，
解得1=-,2=.
18．解：解（1）c2=a2+b2-2abcosC
=12+22-2×1×2×=2，
∴c=.
（2）∵cosC=，∴sinC=.
在△ABC中，=,即=.
∴sinA=,∵a＜b,∴A为锐角，cosA=.
∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA
=×-×=.
19．解：(1)∵△AOB是等边三角形，∠AOC＝45°，
∴∠BOC＝45°＋60°，
∴sin∠BOC＝sin(45°＋60°)
＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝2)＋\r(6)4.
(2)在△OBC中，OCsin∠OBC＝BCsin∠BOC，
∴BC＝sin∠BOC×OCsin∠OBC
＝2)＋\r(6)4×2)sin60°＝1＋3)3.
20解：由cos∠ADC＝35>0知B<π2，
由已知得cosB＝1213，sin∠ADC＝45，
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝45×1213－35×513＝3365.
由正弦定理得ADsinB＝BDsin∠BAD，
AD＝BD·sinBsin∠BAD＝5133365＝25.
21. 解：(1)因为sin2A＝\a\vs4\al\co1(\f(\r(312)sinB
\a\vs4\al\co1(\f(\r(312)sinB＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，
所以sinA＝±3)2.
又A为锐角，所以A＝π3.
(2)由·＝12，可得cbcosA＝12.①
由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝27及①代入，得c2＋b2＝52，③
③＋②×2，得(c＋b)2＝100，
所以c＋b＝10.
因此c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．
解此方程并由c>b知c＝6，b＝4
注意：
1答案仅供参考，每题由批改教师审阅更正，大题必须分步给分。
2本次改卷1—15题由王小诗批改16—18题由肖晓慧批改19—21题由孟国荣批改，王小诗和肖晓慧负责总分，孟国荣负责成绩统计，以后考试依次轮转批改及总分统计。