高三数学解题方法谈：灵活运用“反证法”.doc

灵活运用“反证法”
　　反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些疑难问题的有力工具．熟练掌握并运用反证法，对提高同学们的解题能力大有裨益．下面就反证法的要点、解题步骤及适用题型加以归纳整理，供同学们复习参考．
一、反证法的基本内容
1．步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．
其中推出矛盾主要有下列情形：①与已知条件矛盾；②与公理、定理、定义及性质矛盾；③与假设矛盾；④推出自相矛盾的结论．
2．宜用反证法证明的题型：①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等．

二、反证法的应用
1．易导出与已知矛盾的命题
例1　求证：两条平行线中一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交．
已知：，平面，如图1所示．
求证：直线和平面相交．
证明：假设和平面不相交，即或．
（1）若，因为，所以或，这与相矛盾．
（2）如果，因为，所以和确定一个平面，显然平面与平面相交．设，因为，所以．又，从而且．
　　故，这与矛盾．
由（1）、（2）可知，假设不成立．故直线与平面相交．
2．证明有关“惟一性”的命题

例2　已知与是异面直线，求证：过且平行于的平面只有一个．
　　证明：如图2，假设过直线且平行于直线的平面有两个分别为和．在直线上取点，过和确定一个平面，且与分别交于过点的直线．由，知．同理．故，这与相交于点矛盾．
故假设不成立．从而过且平行于的平面只有一个．
3．证明“至多”或“至少”问题
例3　已知函数对其定义域内的任意两个实数，当时，都有．求证：至多有一个实数使得．
证明：假设存在两个不等实数，
使得．（※）
不妨设，由条件可得，与（※）式矛盾．
故至多有一个实数使得．
4．当证明反面结论比证明原结论更简单时，可考虑用反证法
例4　设函数的定义域是区间，，且对任意的，，均有，求证：对任意的，，均有．
分析：若用直接法，需分类讨论，可考虑使用反证法．
证明：若不然，则有，，
　　使得．
　　不妨设，则

　　．
所以．
　　故由条件，可得．
这与假设矛盾，故原命题成立．
注：本题运用了
配凑这一技巧，这种方法在解证不等式问题时很有用，希望同学们能够掌握．
用心 爱心 专心