中考数学专题复习五--------几何最值的解题策略.doc

中考数学专题复习五
-------几何最值的解题策略
屠园实验学校 伏建明
知识准备：
一：求几何最值问题的基本类型：
1. 平行几何的最值问题
平行几何的最值问题包括求角的大小、线段的长，图形的周长和面积以及这些几何元素的和、差、积、商的最大值和最小值。
2. 解决平等几何中的最值问题经常用到的知识
⑴在两点间的所有连线中，线段的长度最短；
⑵在定点与定直线的所有连线中，垂线段的长最短；
⑶在定圆的所有定弦中，直径最长；
⑷在定圆中，过圆内一点的所有弦中，垂直于过该点的直径的弦最短；⑸二次函数的最值；
⑹y=a2+b≥b
二：求几何最值的基本方法：
1. 特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证；
2. 几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理；
3. 数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程，二次函数等。
三：知识说明：最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.宿迁中考在2015,2016年连续2年都出现几何问题的最值问题,考生得分率普遍不高,在复习时应引起关注,预计2017年宿迁中考会出现几何最值问题的选择题或解答题.
四：教学目标
1.了解解决几何最值问题的基本原理和方法。
2.初步掌握利用平面几何知识及几何图形、平面直角坐标系、函数等知识解决几何最值问题，培养学生几何探究、推理的能力。
3.进一步体验数形结合思想，转化思想等思想方法。
五：教学重难点
1，教学重点：几何最值问题原理的运用；
, 2，教学难点：寻求几何最值问题解决的有效途径及方法。
六：教学过程：
一、引入
1.常见的几何最值问题有：线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等；
2.几何最值问题的基本原理。
①两点之间线段最短 ②垂线段最短 ③利用函数关系求最值
二、典例剖析
题型1　三角形中最值问题
典例1　(2016·江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是　　　　. 
【解析】本题考查与三角形有关的折叠的计算.由于FP的长度是不变的,于是P点在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动,由此可确定点P在什么位置时到边AB的距离最小.如图,当点E在BC上运动时,PF的长固定不变,即PF=CF=2.∴点P在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动.过点F作FH⊥AB交☉F于P,垂足为H,此时PH最小

短,此时△AFH∽△ABC,∴

题型2　四边形中最值问题
典例2　(2016·江苏常州)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是　　　　. 
【解析】本题考查等边三角形的性质、不等式、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识,根据题意建立不等式、转化不等式是解答此题的关键.△APB中,因为AB=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因为(AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP·PB,所以2AP·PB≤4,AP·PB≤2,因为△ABD,△APE和△BPC都是等边三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE·PC≤2,
又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,
所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC,
同理EP=DC,所以四边形PCDE是平行四边形,所以EP∥DC,因为∠EPA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC=
360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因为EP∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,
所以∠DCP=180°-∠EPC=30°。

题型3　圆中最值问题
典例3　在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图，求PQ的最大值。
【解析】本题考查解直角三角形与勾股定理等知识.(1)连接OQ,在Rt△OPB中求出OP的长,在Rt△OPQ中求出PQ的长即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的长为定值,则OP最小时,PQ最大,此时OP⊥BC,即可求解.

【归纳总结】此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分.
七：课后练习：投影仪
八、小结。
1.本节课你学到了什么？
2.老师小结
九、作业。
见试卷1