数学分析1期末考试讲解.doc

《数学分析Ⅰ》题目讲解

一、 单项选择题（每小题2分，共14分）

1、设数列满足且，则为【 】
A、0 B、1 C、 D、2

2、已知 则是的【 】

A、第一类不连续点
B、第二类不连续点
C、连续点
D、可去不连续点

3、已知，则在处【 】

A、左可导
B、右可导
C、可微
D、不连续

4、若存在，下列说法一定正确的是【 】

A、在的任一邻域内有界
B、在的某一邻域内无界
C、在的某一邻域内有界
D、在的任一邻域内无界

5、若在处连续，并且，则【 】
A、且存在
B、且存在
C、且存在
D、且存在

6、若在点处存在左、右导数，则在点处必然【 】
A、可导
B、不可导
C、连续
D、不连续

7、下列叙述错误的是【 】
A、若在点可导，则在点可微；
B、若在点可导，则在点连续；
C、若在点可导，则；
D、设在点可导，则是极值点当仅当.
参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D

二、填空题（每小题3分，共21分）
1、

2、曲线上平行于直线的切线的方程为

3、设，则

4、曲线的斜渐近线为

5、函数的极小值点 ______ _

6、已知当时与等价，则

7、

参考答案：
1. ；
2. ；
3. 5；
4. ；
5. 4；
6. 1；
7.

三、计算题（每小题6分，共36分）

1、计算.

1、计算
解：设，由于
，
， ，（4分）
由夹逼性，，即原极限为1。（6分）

2. 求极限

3. 已知任意次可微，求的二阶微分.

3. 已知任意次可微，求的.
解：令，则， （2分）
所以， （6分）

4. 求方程所确定的函数的导数.

4.求方程所确定的函数的导数.

5. 设，求.

解：对等式两端取对数，，（1分）再对上式两端分别求导，
（4分）
（5分）
所以，
6. 求由方程所确定的函数的微分.
解：在方程两端对求导，得
. （3分）
解此方程，得。 （4分）
所以，。 （6分）
四、综合题（3小题，共29分）
1. 叙述证明题（4小题，共14分）
（1）叙述（有限）的定义；（3分）
（2）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理；（3分）
（3）叙述在区间内一致连续的定义；（3分）
（4）证明在上一致连续。（5分）

解：（1）（有限）的定义：对任意给定的，存在正整数，当时，有。 （3分）

（2）数列的柯西（Cauchy）收敛原理：数列收敛的充要条件是是一个基本数列。（3分）

（3）在区间内一致连续的定义：若在区间内满足对任意的，存在，使得对内任意两点与，当时，总有，则称在区间内一致连续。 （3分）

（4）证明：对任意，由于

故对任意的，取，则对内任意两点与，当时，总有，即在上一致连续。 （5分）
2. 证明：当时，.（7分）
证明：（1）证明.
根据Lagrange中值定理，
（2分）由于，所以。 （3分）
（2）证明.
令，则
，（2分）当时，，严格单调递减，由，知，从而。 （4分）

3. 设在区间可导，且，，证明：
（1）存在使得；（5分）
（2）在内至少有两个零点。（3分）

证明：（1）由，存在，使当时，有，此时，。在中去一点，有；由，存在，使当时，有，此时，。在中去一点，有。（3分）于是，。由在可导，在连续，由中间值定理，存在，使得。（5分）

（2）由罗尔（Rolle）定理，在内至少存在一点使得，在内至少存在一点使得。故在内至少有两个零点。（8分）