高等数学-数列的极限省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目录 上页 下页 返回 结束,目录 上页 下页 返回 结束,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第一章,二、数列,极限存在准则,一、数列极限定义,第三节,数列极限,三、收敛数列性质,1/36,对,圆作内接正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、这么继续循此下去,所得正多边形面积就无限靠近于圆面积.,割之弥细，,所失弥少，割,之又割，以至,于不可割，则,与圆合体而无,所失矣.,刘徽割圆术,2/36,一、数列极限定义,引例.,设有半径为,r,圆,迫近圆面积,S,.,如图所表示,可知,当,n,无限增大时,无限迫近,S,.,用其内接正,n,边形面积,刘徽,3/36,假如按照某一法则，对每个,，对应着一个,确定实数,，这些实数,按照下标,n,从小到大排列,得到一个序列,就叫做,数列,，简记为数列 .,数列中每一个数叫做数列,项,，第,n,项 叫做数列,普通项,或,通项,。,1、数列,定义,4/36,比如,注意：,(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,(2).数列是整标函数,5/36,观察以下数列当,n,无限增大时，,L,L,2,1,L,L,0,从上面能够看出,:,当,n,时,无限地靠近于,1,数列,(2),从原点两侧无限地靠近于,0,普通项,改变趋势:,数列,(1),从 右侧,6/36,2.数列,极限定义,当,n,无限增大时,假如数列,x,n,普通项,x,n,无限靠近,于一个确定常数,a,则常数,a,称为数列,x,n,极限,或称数列,x,n,收敛于,a,记为,a,x,n,n,=,lim,，,当,n,无限增大时,x,n,无限靠近于,a,.,当,n,无限增大时,|,x,n,-,a,|无限靠近于0,.,当,n,无限增大时,|,x,n,-,a,|能够任意小,要多小就能有多小.,当,n,增大到一定程度以后,|,x,n,-,a,|能小于事先给定任意,小正数,.,或,假如数列没有极限,就说数列是,发散,.,习惯上也说,7/36,比如,趋势不定,收 敛,发 散,8/36,数列极限的演示,9/36,数列极限的演示,10/36,数列极限的演示,11/36,数列极限的演示,目标不惟一！,12/36,1.夹逼准则,二、极限存在准则,注意:,13/36,例,证实,证实,满足,由定义知,利用,夹逼准则,得,14/36,(1)数列,有界性,比如,有界；,无界.,数列,x,n,有上界,即存在,M,使,x,n,M,(,n,=1,2,),.,数列,x,n,有下界,即存在,m,使,x,n,m,(,n,=1,2,).,2.单调有界准则,15/36,单调增加,单调降低,单调数列,几何解释:,(2)数列单调,性,16/36,如数列,由,准则,知,及,分别是,单调降低,且,下界,为,1,及,单调增加,且,上界,为,1,数列,存在.实际上,17/36,例,证,18/36,证实数列,极限存在.,证:,利用二项式公式,有,设,例.,19/36,大,大,正,又,比较可知,大,20/36,依据,准则 2,可知数列,记此极限为,e,e,为无理数,其值为,即,有极限.,又,内容小结,21/36,(,1,),收敛数列必定有界,.,注意：,有界性是数列收敛必要条件.,推论,无界数列必定发散,.,比如,有界但不收敛,数列,三、收敛数列性质,(2).收敛数列极限唯一.,(3).收敛数列含有保号性.,若,且,有,则,推论:,若数列从某项起,22/36,子数列收敛性,注：,比如，,所谓,子数列,是指：数列中任意抽取无限多项并保,持这些项在原数列,x,n,中先后次序，这么得到一,个数列称为原数列,x,n,子数列（或子列）.,在子数列 中，普通项 是第,k,项，而 在,原数列 中却是第 项，显然，,(4).收敛数列任一子数列收敛于同一极限.,23/36,1.无界数列必定发散.,2.一子列发散,则数列发散.,3.两子列收敛到不一样极限,则数列发散,.,例:,证,发散数列判别法:,注:,一个发散数列也可能有收敛子数列.,24/36,内容小结,1.数列极限定义,3.收敛数列性质:,唯一性;有界性;保号性;,任一子数列收敛于同一极限,作业,P19 1,3,2.极限存在准则,单调有界准则,夹逼准则,25/36,数列极限准确定义,a,x,n,n,=,lim,，,当,n,无限增大时,x,n,无限靠近于,a,.,当,n,无限增大时,|,x,n,-,a,|无限靠近于0,.,当,n,无限增大时,|,x,n,-,a,|能够任意小,要多小就能有多小.,当,n,增大到一定程度以后,|,x,n,-,a,|能小于事先给定任意,小正数,.,或,26/36,问题,:“无限靠近”意味着什么?怎样用数学语言刻划它,.,经过观察:,当,n,无限增大时,无限靠近于1.,引例,观察数列,时改变趋势.,100,1,给定,100,1,1,n,100,1,1,N,时,不等式,都成立，,29/36,都落在,a,点,邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中有限个点,这就表明数列,x,n,所对应点除了前面有限个点外,都能凝聚在点,a,任意小邻域内，同时也表明数列,x,n,中项到一定程度时改变就很微小，展现出一个稳定状态，这种稳定状态就是人们所称谓“,收敛,”。,注意：,数列极限定义未给出求极限方法.,数列极限几何意义,使得,N,项以后全部项,注：,越小,表示,与,a,靠近得越好.,30/36,OK!,N,找到了！,nN,目标：,NO,有些点在条形域外面！,数列极限的演示,31/36,N,数列极限的演示,e,越,来,越,小,，,N,越,来,越,大！,32/36,例1,用定义,证实,证实 对于任意给定 要使,只要,取自然数,则当 时，有 ,所以,注：,就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定对应,N.,33/36,例2.,已知,证实数列,极限为1.,证:,欲使,即,只要,所以,取,则当,时,就有,故,N,与,相关,但不唯一.,不一定取最小,N,.,注：,34/36,刘徽,(约225 295年),我国古代魏末晋初出色数学家.,他撰写重,差对九章算术中方法和公式作了全方面评,注,指出并纠正了其中错误,在数学方法和数学,理论上作出了出色贡献.,他“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“,用已知迫近未知,用近似迫近准确,”,主要,极限思想.,方法:,35/36,柯西,(1789 1857),法国数学家,他对数学贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最主要是为巴黎综合学,校编写分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学影,他是经典分析奠基人之一,他为微积,分所奠定基础推进了分析发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,36/36,