相对论(高中竞赛用).doc

相对论(高中竞赛)
1. 洛伦兹变换：这个理论是相对论的基础，绝大部分公式都是从洛伦兹变换推出的。
基本内容：对于两个惯性系和而言，
若相对于系以速度v沿x轴正向移动，那么有
同样，若相对于系以速度-v沿x轴正向移动，那么有
2. 速度的相对性
(1) 在某一固定的系中看另外两个运动的物体，它们之间的相对速度可以超过光速，而如果把参考系进行转换，则在一运动的参考系中观察另一运动的物体其速度不会大于光速。也就是说，在某一参考系中任何一个物体的速度都不会超过光速，而同一参考系中的不同物体之间的相对速度可以超过光速
(2) 参考系变换后相对速度公式

【例1】在地面系中观察，飞船A以0.5c的速度向东飞去，而飞船B以0.7c的速度向西飞去。那么：①在地面系中看来，两飞船的相对速度为多少；②在飞船A看来，飞船B的速度为多少？
{解}：①由于没有换系，并不需要考虑相对论相对速度变换，即

②由于参考系由地面系换为一运动的系，故AB之间的相对速度为

【例2】若一玻璃的折射率为n，假设在玻璃中有一个光源，且玻璃以v的速度运动，假设光的传播速度方向与玻璃速度同向，求：①光相对于介质的速度；②光相对于地面系的速度；③地面系中光相对于介质的速度。
{解}：①由折射率的定义可知

注意：折射率的定义所算出的速度为光相对于介质的速度，而并非光相对于地面系的速度，而且这里光速不变原理是不适用的。
②这里以地面为参考系，考虑两者速度变换的相对论效应，即

③根据前两问结果，显然

【例3】一块厚玻璃以速率v向右运动，在A点有闪光灯，它发出的光通过厚玻璃后到达B点，已知A、B之间的距离为L，玻璃在其静止的坐标系中的厚度为，玻璃的折射率为n。试问，光从A点传播到B点需多长时间？
{解1}：利用例2的结论可以较轻松的计算出光在厚玻璃内传播的时间

在厚玻璃外的传播时间(地面系看来)：

于是，总时间

{解2}：在玻璃系看来，光的传播时间

由洛伦兹变换可得

求在玻璃外的传播速度用解法一即可，下略。
3. 时间延缓与长度收缩
(1) 使用条件
① 用长度收缩的条件：两系中必须同时测量，从洛伦兹变换的角度而言就是两次测量要在某一个系的同一地点，否则测量必然不会同时。
② 固有长度：若某一物体相对某一参考系静止，那么在该参考系中测量出的物体长度就是物体的固有长度。
③ 时间延缓效应中，最常用的概念就是固有时，如果某一事件其初末事件在某一参考系的同一地点发生，则经过该事件的时间间隔就是固有时。
(2) 公式
① 长度收缩：
② 时间膨胀：
(3) 关于固有长度与固有时的理解与寻找方法：
① 如果一个事情的初末两个事件在某一参考系中同地发生，则在这个参考系中的时间间隔一定是固有时。
② 根据洛伦兹变换可以推出，如果在A系中初末两事件同地发生(即A系中的时间为固有时)，那么在B系中，初末两事件的距离为固有长度。
③ 如果一个物体相对一个参考系是静止的，那在该参考系中其长度为固有长度

【例1】一宇宙飞船以0.6c的匀速自地球飞往遥远的星球，它上面和同它联系的地面台站都装有原子钟和无线电收发报机，以便联系。双方约定，原子钟的时间都从飞船离开地球时算起，飞船上的原子钟在一年后便指令向地球发射一个无线电信号，地面台站收到这个信号后便立即向飞船发射一个无线电信号。试计算双方观测到的各处发射和收到无线电信号的时刻以及当时飞船与地球间的距离。
{解}：

飞船观测结果
地球观测结果
飞船发射信号时刻
1年
1.25年
0.6光年
0.75光年
地面接收和发射信号时刻
2.5年
2年
1.5光年
1.2光年
飞船收到信号时刻
4年
5年
2.4光年
3光年
这里分析各个长度与时间谁是固有的：在飞船看来，地球以0.6c的速度远离飞船而去。初事件为“发射时对准钟表”，第一个末事件为“飞船发射信号”，可见在飞船系的时间为固有时，在地面系的长度为固有长度。第二个末事件为“地球接收和发射信号”，于是在地面系中为固有时，在飞船系中为固有长度。第三个末事件为“飞船收到信号”，于是飞船系的时间为固有时，在地面系的长度为固有长度。
【例2】宇航员乘一宇宙飞船从地球飞向离地球8光年的某星体，飞船相对于地球的速度v=0.8c。问宇航员系中何时到达这星体？
{解1}：在宇航员系中，时间为固有时间；在地球系中长度为固有长度，故在宇航员系中地球与星体的距离为

故在宇航员系中经过的时间为

{解2}：在地球系中，宇航员到达星球的时间为

在宇航员系中，由时间膨胀得

【例3】在地面上有一长跑道，运动员从起点跑到终点用时，现从以0.8c速度沿跑道向前飞行的飞船中观察，求：(1)跑道的长度；(2)运动员跑过的距离和所用的时间；(3)运动员的平均速度。
{解}：(1)由长度收缩得

(2)由洛伦兹变换

(3)在地面系中，运动员的速度为

换至飞船系中有

或直接利用第二问结论有

4. 时间延缓与电磁波多普勒效应的关系
【例】一飞船以的速度飞离地球，地面上收到的飞船上发出的闪光周期，求飞船上观察者测得的闪光周期。
{解}：由电磁波的多普勒效应可得：

于是，在飞船中测得的周期应满足

利用时间延缓效应也可以解决该题，但是解决此题是容易仅列出时间延缓公式而不进行后面的处理。
由时间延缓效应可知，假设在飞船系中观察到闪光周期为，那么在地球参考系中观测到的闪光周期为

但是，地球的人看来闪光周期并非上式中的，由于电磁波传播需要时间，故地球人观察到的闪光周期应表示为

由以上各式可以解得飞船系中的闪光周期。