分离点的求法 (试探法 ).docx

西工大考研自控历年来只有六道大题，每道题25分。其中必有一道关于画根轨迹的题目。
想当年我复习自控的时候，最开始就觉得根轨迹是最简单的，基本上是送分的。因为根轨迹求解是有八个现成的规则，只要是一步一步按照规则来做，就没有什么问题。看课本的例题的求解过程，也写得溜溜的，基本上没有什么需要特殊强调的。
后来，也算是尊重一下对手，于是决定 简单练两三道题。
一连做了两道，确实觉得太简单，正如我开始所想，没有什么难度。画起来也很随意，只要稍微有些经验，应该没什么问题。
可当我做到第三道练习题的时候，就发现问题没有那么简单了。
这个问题就出在 求解根轨迹的分离点(汇合点)上了。
由西工大出版社出版的 卢京潮自动控制原理第二版中关于求解分离点与汇合点我记得有两个关键点：
一个是公式：

另一个是“试根法”这个关键词。
在遇到简单题目的时候，直接可以求解上边的公式。
但这公式，当你整理的时候，要是能整理出二次方程，那就谢天谢地。要是，整出三次方程，你能看出怎么分解，那也哭天抢地谢谢上帝。
再稍微难一点，可以试用这个“试根法”，当然运气好的话，能试到。运气不好，那就抓瞎了。
那么，总之一点，课本上这些东西并不能完全保证在考场上的不掉链子。
问题就来了，到底怎么搞，才能解决问题呢？
查了很多教材，比如清华大学的自控原理，华中科技大学的，北航的。他们虽然也有一些新的思路，但也不能解决分离点求解的问题。
到网上，也有一些资料，或许是我搜索能力太差，也没有找到有效的解决方法。

后来，渐渐的，果然是功夫不负有心人。终于让我发现了一些端倪。
比如：
Gs=K(s+5)s(s+2)(s+3)

上边的解答，是我直接粘贴过来的。问题就出在最后一步“试根得”，怎么就给我试出来的？
我们知道，两个极点之间必有一个分离点。因此，上边那个题目的分离点d应该在[-2,0]之内。
因此，我们可以估计这个分离点的值d=-1;
当然，我们有答案，已经得到的结果d=-0.886，也没差多少（差了约13%）
这个时候，有一个技巧，看清楚了。
将d=-1,带入刚刚的方程中去

当然，直接带入，没有任何意义，我们留一个不带入。
就有
1d=1-1+5-1-1+2-1-1+3=14-1-12=-1.25
于是解得：d=-0.8 误差（9.7%）
是不是很接近 -0.886？
好
很容易想到，如果要得到更精确的，不妨再带入一次

1d=1-0.8+5-1-0.8+2-1-0.8+3=14.2-11.2-12.2≈-0.9526

这下误差变成（7.5%）
如此，反复下去，便可以得到d=-0.886的相对精确的结果。当然，这个精确，应付考试已经够了，就算平时科研使用，也够了。

朋友看到这里，估计还是一脸鄙夷，这有什么用？这么复杂的计算，你给我做呀？哪里有什么实用价值嘛？
好，接下来就让你看到使用价值在哪里！
一个好的思想，必须要有好的方法才能展现出其价值。
让我们来讲这个方法吧。
你一定不会忘记，在你大一刚来到学校的时候，有一批善良的学长向你推荐过几个很好的工具，其中一个叫做收音机。这个工具是四六级必备工具。当然我们这里是一点都用不着。另外一个工具，就是我们这里要大力推广的“计算器”。你也一定不会忘记，自动控制原理考试是允许使用计算器的，否则你的超调量是不好算的。
即使使用计算器，有些同学仍然现在还抱怀疑态度：就算按计算器，也不是一件容易的事情，按起来也挺麻烦的。
如果你真的觉得麻烦，那接下来，就得好好看了。如果真像你想象的那么麻烦，那么师兄还会在这里跟你唠叨么？
首先，拿出你的计算器。
然后，查看一下按起来是否顺手，不顺手的话，也没关系，因为，如果你学会了这个方法，你会对你的计算器刮目相看。
下一步（就上题来说），依次按下1÷（1÷（-1+5）-1÷（-1+2）-1÷（-1+3））
按下=，就会得到-0.8
当然，这样做，是你的直觉想法。
看师兄怎么做
按-1 再按=
接下来就是见证奇迹的时刻
依次按下1÷（1÷（Ans+5）-1÷（Ans +2）-1÷（Ans +3））
然后按= 得到-0.8
然后 将= 一顿按，一直到屏幕上的数字不变的时候，就可以将这个值写到你的答案处了。
是不是很神奇啊？
你要是学过编程，你会恍然大悟，你要是学过计算方法，你会觉得自己居然没想到，你要是啥都没学过，你就用这个就足够了。
另外，不要高兴的太早，这个方法并非一直有效的。因为并非所有的都是“收敛的”。哈哈，看到这个词语，你一定很烦，但是却能理解。
根据我的经验
必须注意一下几个问题：
1. 留下，不带入的那个d 不是随便取的，应该是离分离点较近的那个。
怎么说。就是，分离点在[-2,0]之间，就要取1/（d+2）或者1/d那个不变，然后将其他代入。
2. 这个方法，我没有严格证明，也一直没有时间。但是，在我跟同学交流的时候，他们都无一例外的说这个方法比较实用。所以推荐给学弟学妹们。
3. 其实，在考研试卷中，至少在历年考题中，都没有一道需要这样求解的题目。但是，在练习题中，往往会出现这样的题目。因此，再练习中，这个方法也比较实用。
4. 这个方法应该是第一次出现，因此，有可能有出题老师看到的话，可能今年就会出一道需要这样比较复杂地求解的题目。所以你们操点心。
5. 这个方法其实很简单，如果要我坐在你旁边，两分钟就给你教会了。但是这里必须写成文字，才能让更多的人看到。不过，文字的表达就稍显笨重了。
我这里将这个操作过程简单解释一下。
第一步，按-1 按= 是将你估计的初始值存入 Ans 里边
第二步，构造迭代公式
第三步，带入Ans值进行迭代

最后，就算出值来了。祝愿所有考自控的同学都取得好的成绩。
祝你们考研成功！