经济数学1(高等数学,极限与连续).doc

经济数学
前言
一、“高等数学”的学科定位
“高等数学”，是以极限论为工具研究变
量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。
研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。
以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。
1、高等数学 初等数学，
2、高等数学又称为“微积分”，其主要内容是微分学和积分学两部分。而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。
3、同样是微积分，还有层次的高低问题。
4、在内容的系统上，其主线是运用极限论工具对函数的各特性进行讨论。这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。希望大家一定要正确对待这一难关。我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实质。
二、在学习中要注意的一些思想方法
人们往往对数学有一个看法，认为数学很难，这一看法辨证地说既对又不对。所谓难与不难是相对的，关键在认识方法上，若方法对路，相对较难的内容也能较容易地掌握。根据高数的特点，我们列举出以下几对矛盾，希望同学们在学习的全过程中，随时多想想，找到问题的症结，对症下药，对学习会有一定的帮助。
1、常量与变量的矛盾
2、内容和形式上的矛盾
3、感性和理性的矛盾
4、有限和无限的矛盾
5、局部和整体的矛盾
6、连续和离散的矛盾
三、准备
首先在这里先给两个数学符号，是全课程中大量运用的符号。
1） 符号“”，即任意选取一个，或说对于每一个
例：：即在区域D中任意选取一个元素，或说对于D中的每个。
2） 符号“”：至少存在一个
例：：即在D中存在一个元素。注意：这里的存在性并未说D中有多少个、这些在D中的哪些位置，它仅表明D中至少有一个这样的。若D中仅有唯一的一个这样的，记为
，即存在唯一的一个。
1、绝对值
定义：为实数的绝对值
2、性质 （有九条）
6）若是正实数，

对于，若将看成定点，看成动点，则说明动点仅能在
x0-ε x0 x0+ε
x0-ε x0 x0+ε
这个区间游动。

4、一点的邻域定义
称为定点的邻域，是动点在点近旁变化范围的数学刻划。
有时问题与点本身无关，而仅对点的附近有兴趣，则提出点的去心邻域，
定义：记
为点的去心邻域。
x0-ε x0 x0+ε x0-ε x0 x0+ε

第一章 函数
1、函数的概念及其表达形式，
2、函数的四个基本性质，
3、函数的运算。
4、五类基本初等函数：幂、指、对、三角、反三角函数。
5、函数分类：初等函数、分段函数等。
一、函数的概念
1、函数是一种变化规律，是两个数集之间的对应关系。严格的数学定义是：
定义：，通过对应关系， 与之对应，则称为D上的一个函数，
记为。
2、生产函数：
利润函数：
成本函数：
3、分段函数：中学时我们涉及的几乎都是由一个解析式表达的函数，而实际问题中大量出现的函数是在定义域内不同部分有不同的变化趋势，或说定义域内不同区域上有不同的表达式，这就必须分段刻划，一般记为：
经济问题很多都是分段函数。
例1：企业产品的收益是时间的函数，按产品的生命周期在研制期，成长期成熟期和衰退期各期收益的变化规律都不一样，分别为；
则，该产品收益的数学 模型为：

4、函数的图形：
一元函数是平面坐标系下一
条曲线。
二、函数的基本性质
1、单调性
可见一般的函数未必是单调的，而在波动起伏的不单调函数的趋势分析中，寻求单调区间是很重要的一个内容。

2、函数的有界性

3、函数的奇偶性
若的定义域D是关于原点对称的区域都有则称为偶函数，若，是奇函数。
几何意义：奇函数的图形关于原点对称，
偶函数图形关于Y轴对称。

图1—5
4、函数的周期性
三、函数的运算
1、四则运算
2、反函数运算
定理：严格单调函数必有反函数。
3、复合函数
相对于复合的概念就是分解。在我们研究一
个复杂的函数结构时，是否能将其分解为若干简单的局部，或说它是由若干简单局部复合而成。可见函数的复合运算是解析函数的最重要最常用的基本运算。
例：可看成

即
我们研究的对象函数内容广泛、形式丰富、
结构复杂，要整体性的讨论难度较大。我们的讨论思路是借鉴了化学研究的基本思想：人们面对于千变万化的物质世界是先将其最基本的构造物——化学元素系统好，然后运用化合反应法则来认识这错综复杂的世界。类似的，我们也有其构造函数集合的基本元素，这便是基本初等函数。
四、基本初等函数
基本初等函数共五类：
1、幂函数：
2、指数函数：
3、对数函数：
4、三角函数：

5、反三角函数

讨论内容是：
1º 函数名 2º 定义域 3º 特殊点
4º 性质 5º 运算律 6º作图
几何表达：
函数的以上内容都反映在几何曲线中。
五、初等函数
1、初等函数的定义：
由基本初等函数，经过有限次函数运算，
由一个解析式子表达的函数。
例：
2、不是初等函数的被称为超越函数。
3、分段函数，显然表达式多于一个了，不属初等函数范畴。但它的每一段上都是初等函数，仅多了若干段以及各段之间的分点。
第二章 极限与连续
一、概念：极限是一个无限变化过程，。
无限变化：

记为：，等。
例如：，
二、计算问题
将自变量变化趋势代入函数后看函数值的变化结果。
例如：，
但是：，
可见，能直接代进去的最好，我们称为确定型，而大量的代不进去，原因是分母出现了0等这些矛盾。
我们用符号0表示一个无穷小（注意这个符号不是数0），用表示一个无穷大量，用M表示有界量，则：

这些的结果是确定的，称为确定型。而我们将其称为不定型。

所谓不定型，这些运算结果或为无穷小，
或为无穷大或为有界量。
1、最好用的是利用连续的概念处理
,而且这类最多。从方法上看就是把函数中的x用换，带换的结果就是其极限值。
2、运用无穷小、无穷大的运算关系,
对于，
以及等有定型，可直接判断而得。这一部分不多，但一旦判别出来就得到了结果。
例：。注意，此时极限是型。强调形式上很容易与混淆。
3、主要部分——不定型
1)  运用初数恒等变形消因子的方法
例： 这是型
解：原式=
=
这里运用的是平方差公式处理.
2) 运用无穷大的倒数为无穷小。
特别对于有理分式函数，当时，

例：
解：原式=。
3) 两个重要极限
① 。
主要用于三角函数的极限的处理。
② 。
主要解决幂指函数。
例：
解：
例：
解:
4) 罗毕塔法则
函数的连续性
一、函数的连续性概念
1、在点连续：
2、在连续：在上点点连续。
二、函数的间断点
1、在连续的定义中式子中包含
了三层意思：
1º 在点有定义
2º 在时有极限。
3º 当时的极限就是点的函数值
而对于2º条，我们还可以分解说成：
当时左、右极限都存在，而且 左极限 = 右极限。
2、间断点的分类
1） 第一类间断点：左右极限都存在。
在第一类间断点中还有一种更特殊的，称为可去间断点：左右极限都存在且相等。
2） 第二类间断点：至少有一个单边极限不存在。
3）说明：
第一类间断点：左右极限都存在，又是间断点，则必须是或在点处无定义，或其左极限不等于右极限，或极限不等于，
此类间断点在后面的定积分的讨论时仍无大碍，但对于第二类间断点就会出现本质的变化。前两种为可去间断点：好象是差一点连续的点。同理从程度上说，第二类间断点是太不连续的点。
三、函数连续的性质
连续是特殊的极限，极限的许多性质可推广过来。对于函数运算，即四则运算，反函数运算，复合函数运算，只要参加运算的函数都连续，则其结果也连续。
（注意：并没说不连续的函数运算后的结果一定不连续）
四、初等函数连续性的判别
1、在这里我们可以充分体会到函数分类时
给出的初等函数类的巨大优越性。
首先讨论基本初等函数幂，指，对，三角，反三角的连续性，从它们的图形就可见：它们在其有定义的区间上都是连续的；然后结合以上的连续关于函数运算（四则运算，反函数运算，复合函数运算）的性质；于是，可以判别一般初等函数的连续性了。
重要结论：
初等函数在其有定义域的区间上连续。
一般函数的连续性的判别必须用极限运算，非常困难。但若是初等函数，其连续性的判别竟简单成定义域的求取。
2、对于分段函数
分段函数每一段上都是初等函数。所以
在这些分段区域内函数连续，可见：
分段函数若有间断点，只能出现在分点处！
而对于分点处分段函数的连续性的判别只能用左极限和右极限的方法讨论。
3、举例
例：讨论 的连续性
解：
点是连续的。
函数在上连续。