二次函数在生活中的应用.docx

二次函数的应用（1） 教学设计
河间市西九吉中学 姜兴义
教学目标：
1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
3．经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．
教学重点与难点：
重点：探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力.
难点：能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、复习回顾，设疑导入
活动内容1：复习回顾（多媒体展示）
（1）二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标分别是什么？如何确定最值？你有几种方法？
（2）每件商品的利润怎么求？总利润呢？
处理方式：学生思考后，进行举手抢答，培养学生的竞争意识．
参考答案：（1）对称轴是直线，顶点坐标（，），两种方法求最值：配方法、公式法．
（2）每件商品的利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售量．
活动内容2：设疑导入（多媒体展示）
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意经多销500件．你能帮助厂家分析，批发单价是多少时可以获利最多吗？
本节课让我们共同学习二次函数的应用．
【板书课题：二次函数的应用（1）】
设计意图：复习回顾一方面巩固二次函数的相关知识，一方面为本课的学习做好铺垫；问题情境的创设，意在让学生初步感受二次函数在生活中的应用模型，同时通过设置疑问，激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强应用意识．
二、问题导学，探究感悟
活动内容：解疑释惑（多媒体展示）
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意经多销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
处理方式：引导学生分析引例题意，理解问题情境，同时思考以下问题：（多媒体展示）
1．本题反映了哪两个变量之间的关系？
2．设批发单价为x（10＜x≤13）元，设厂家获利y元,那么
（1）每件T恤衫的利润可以表示为 ；
（2）经销量可以表示为 ；
（3）厂家获利y可以表示为 ；
（4）则y与x的关系可以整理为 ．
学生自主思考完成后，在小组内交流讨论，然后找一名学生展示，教师适时点拨强调．学生展示后，教师及时追问以下问题：
（5）厂家获利y元与批发单价x元是什么关系？
（6）厂家批发单价是多少时可以获利最多？你是如何做的？与同伴交流．
学生完成后，教师借助多媒体展示学生求解问题（6）的过程，让学生进行互评，教师适时点评强调，对于不同的求解方法要给予表扬鼓励，同时引导学生对比不同计算方法的优劣．
参考答案：
1．反映了厂家获利与批发单价两个变量之间的关系；
2．（1）x-10；（2）5000+；
（3）（x-10）（5000+）或-5000x2+120000 x -700000；
（4）y=（x-10）（5000+）或y=－5000x2+120000 x -700000；
（5）厂家获利y元是批发单价x元的二次函数；
（6）方法一（配方法）：y=（x-10）（5000+）=5000（x-10）（14- x）=－5000（x-12）2+20000；
方法二（公式法）：y=（x-10）（5000+）=-5000x2+120000 x -700000，
，．
设计意图：让学生列出利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型．使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题．
三、活动内容：试一试（多媒体展示）
2、某旅馆有客房120间，每间房的每天租金为160元时，每天都客满．经市场调查，如果每间客房的每天租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6．不考虑其它因素，旅店将每间客房的每天租金提高到多少元时，客房每天租金的总收入最高？
处理方式：引导学生分析题意，明确本题是利用二次函数求最值的问题，解决本题的关键是找到等量关系，然后根据等量关系列出二次函数关系式求最值．
等量关系式为：客房每天租金的总收入=每间客房的每天租金×客房的间数
学生的设法不同，所列的关系式也不同，教师可以借助多媒体展示不同设法和解题过程，强调解题的步骤及规范性，及时的给予点评，并引导学生去发现不同设法区别．在用所设的未知量表示客房的间数时，教师要及时的给以点拨引导．
设法与解题过程预设：
（设法一）解：设每间客房的每天租金提高10 x元，则每天客房出租数会减少6 x间．设客房的每天租金总收入为y元，则
y=(160+10 x)(120-6 x)= -60(x-2)2+19440．
∵x≥0且120-6 x＞0，
∴0≤x＜20．
当x =2时，y最大=19440．
这时每间客房的每天租金为160+10×2=180（元）．
因此，每间客房的每天租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．
（设法二）解：设每间客房的每天租金为 x元，则每天客房出租数为(120-×6)间．设客房的每天租金总收入为y元，则
y= x (120-×6)= －0.6 (x-180)2+19440．
因此，每间客房的每天租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．
设计意图：通过这个实际问题，让学生进一步感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析．
四、交流小结
活动内容：（多媒体展示）
想一想：在利用二次函数解决生活实际最值问题时的步骤是什么？
处理方式：学生思考后在小组内交流，然后再全班展示说出自己的想法．教师给予点评鼓励．
二次函数解决生活实际问题时的步骤是：
（1）审清题意；
（2）找出题中的两个变量，并列出等量关系；
（3）设出两个变量，根据等量关系列出函数关系式；
（4）根据函数关系式，采用配方法、公式法求出最值；
（5）写出结论．
设计意图：实际问题的解决难点在于建立数学模型. 让学生进一步理解变量之间的函数关系，将实际问题转化为数学模型．
五、作业布置（多媒体展示）
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得利润最大？
参考答案：
（方法一）解： 设销售单价为x元，则销售量[400－20（x－30）]件．设半月内获得利润为y元，则
y=(x－20) [400－20（x-30）]=－20(x-35)2+4500．
因此，当销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．
（方法二）解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元，则
y=(x+30-20)(40-20x)=-20x2+200x+400=-20(x-5)2+4500．
∴当x=5时， y最大=4500．
因此，当售价提高5元，即销售单价为35元时，半月内可获最大利润4500元．
设计意图：在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学意识，增强学习数学的兴趣和信心，使其解题能力和应用能力得到进一步提升．
板书设计：
二次函数的应用（1）
二次函数的性质：
对称轴：
顶点坐标：
确定最值：
每件商品的利润=
总利润=
引例
解：

例2
解：

投
影
区