概率论与数理统计教学16-第一章第六节(概率统计).ppt

,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,上页,下页,返回,上页,下页,返回,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 随机事件与概率,1.6,事件的独立性,第一章 随机事件与概率,1.6,事件的独立性,内容简介,:,事件,B,发生的概率受事件,A,发生的影响,这是条件概率问题,.,如果事件,B,发生的概率不受事件,A,发生的影响,那么会出现什么样的结果呢？这就是事件独立性问题,.,我们学习如何判定事件具有独立性，并计算其概率,.,1.6.1,提出问题,“近朱者赤近墨者黑”说明什么呢？同班同学的学习风气是否有影响呢？射手比赛为什么要戴耳机？,如果事件,B,发生的概率不受事件,A,发生的影响,这就是事件独立性问题,.,1.6.2,预备知识,概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布.,1.6.3,问题提出,为此,先看下例：,引例,设某盒中有,5,件产品,其中,3,件合格品,2,件次品,.,现每次任取一件,不放回地取两次,.,求：,(1),A,=,第一次取到合格品,的概率；,(2),B,=,第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品,的概率；,(3),C,=,第二次取到合格品,的概率,.,可知，,由全概率公式得,可见，,P,(,C,|,A,),P,(,C,).,上述问题是不放回抽样,.,如果抽取方式改变成,“,从中任取两次,每次抽取一件,”,这样的,放回抽样,，,则,可见,讲评,这说明事件,A,的发生不影响事件,C,的发生的概率,.,从直观上讲,这是很自然的,因为是,放回抽样,第一次抽到的产品实际上不影响第二次抽到的产品,.,在这种场合,可以说事件,A,与事件,C,的发生具有某种,“,独立性,”,.,在上一节中,我们知道了,条件概率,这个,概念,即在已知事件,A,发生的条件下,事件,B,发生的概率为,并且由此得到了,概率乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,).,现在让我们提出一个问题：如果,事件,B,发生与否不受事件,A,是否发生的影响,那么会出现什么样的结果呢？为此,需要把“事件,B,发生与否不受事件,A,是否发生的影响”这句话表达成数学的语言,.,事实上,事件,B,发生与否不受事件,A,的影响,也就意味着有,P,(,B,|,A,)=,P,(,B,).,这时概率乘法公式就有了更自然的形式：,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,).,定理,2,如果事件,A,与,B,相互独立,则下列各对事件,A,与,与,B,与 都是相互独立的,.,定义,1,设,A,B,是两个事件,如果满足等式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则称事件,A,与,B,是,相互独立的,简称,A,B,独立,.,定理的正确性由两个定义得到,.,定理,1,设,A,B,是两事件,且,P,(,A,)0.,若,A,B,相互独立,则,P,(,B,|,A,)=,P,(,B,).,反之亦然,.,1.,随机事件独立性,1.6.4,建立理论,定理,2,还可叙述为：若四对事件,A,与,B,A,与,与,B,与 中有一对独立,则另外三对也独立,即，这四对事件或者,都独立,或者,都不独立,.,证,由于,P,()=,P,(,A,-,B,)=,P,(,A,-,AB,)=,P,(,A,),-,P,(,AB,),=,P,(,A,),-,P,(,A,),P,(,B,)=,P,(,A,)1,-,P,(,B,)=,P,(,A,),P,(),因此,A,与 相互独立,.,关于,与,B,和,与,的独立性同理可证,.,讲评,关于独立性还要注意两点：,(1),不要把两个事件的独立性与互不相容混为一谈,独立与互斥事件之间没有必然的互推关系,.,见,2003,年考研数,(,四,),考题,.,但有结论,:,若,A,与,B,互斥,且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,与,B,不独立,.,用定义即证,.,(2),在实际应用中,对于事件的独立性,我们常常不是根据定义来判断,而是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断,.,例,1.6.1,甲、乙两射手在同样条件下,进行射击,他们击中目标的概率分别是,0.9,和,0.8.,如果两个射手同时发射,问击中目标的概率是多少,？,又,C,=,A,B,且,A,B,相互独立,故,P,(,C,)=,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),-,P,(,AB,),=,P,(,A,)+,P,(,B,),-,P,(,A,),P,(,B,),=0.9+0.8,-,0.90.8=0.98.,解,设,A,=,甲击中目标,B,=,乙击中目标,C,=,击中目标,.,于是,P,(,A,)=0.9,P,(,B,)=0.8.,定义,2,设,A,1,A,2,A,n,是,n,(,n,2),个事件,如果对于任意的,两个不同,事件,A,i,A,j,(,i,j,),有,P,(,A,i,A,j,)=,P,(,A,i,),P,(,A,j,),则称这,n,个事件是,两两独立的,.,事件的独立性概念,可以推广到三个,和三个以上的事件的情形,.,定义,3,设,A,1,A,2,A,n,是,n,(,n,2),个事件,如果对于,任意的,k,(,k,n,),个事件,都有,则称这,n,个事件,相互独立,.,定理3,(1)若事件,A,1,A,2,A,n,(,n,2)相互独立,则其中任意,k,(2,k,n,)个事件也是相互独立的.,(2)若,n,个事件,A,1,A,2,A,n,(,n,2)相互独立,则将,A,1,A,2,A,n,中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的,n,个事件仍相互独立.,证,(1)由独立性定义可直接推出.,(2)对于,n,=2时,在定理2已作了证明,一般的情况用数学归纳法容易证得,此处略.,对于三个事件,A,1,A,2,A,3,两两独立,仅要求,下面三个等式同时成立,：,P,(,A,1,A,2,)=,P,(,A,1,),P,(,A,2,);,P,(,A,1,A,3,)=,P,(,A,1,),P,(,A,3,);,P,(,A,2,A,3,)=,P,(,A,2,),P,(,A,3,).,若,A,1,A,2,A,3,相互独立,除了上面三个等式外还要满足,P,(,A,1,A,2,A,3,)=,P,(,A,1,),P,(,A,2,),P,(,A,3,),成立,.,2.,试验独立性与伯努利试验,定义,4,设 表示第,i,次随机,试验出现的随机事件，即,C,i,=,A,i,或,i,，若,则说,n,次试验是相互独立,的,，简称,试验独立,.,如果,n,重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：,A,或 ，则称这种试验为,n,重伯努利试验,.,例,1.6.2,假设每次试验成功的概率为,p,(0,p,1).,(1),计算,n,次独立重复试验至少有一次成功的概率,；,(2),要求“独立重复试验直到至少有一次成功为止”的把握不低于概率,q,n,，计算所需试验的次数,n,.,解,记,A,i,=,第,i,次试验成功,(,i,=1,2,n,),A,=,n,次试验至少有一次成功,.,于是,P,(,A,i,)=,p,P,()=1-,p,且,A,1,A,2,A,n,相互独立,.,(1),由于,由定理,3,的结论,(2),知 也是相互,独立的,所以,(2),设所需试验的次数为,.,注意到,A,=,A,1,A,2,A,n,于是问题要求,n,满足,n,=,P,(,A,)=,P,(,A,1,A,2,A,n,),q,n,.,由问题,(1),知,P,(,A,)=1-(1-,p,),n,即要求,1-(1-,p,),n,q,n,，也就是,(1-,p,),n,1-,q,n,.,解之,得,由此可见，当 时，,n,1.,这说明，只要一个事件,A,的概率不是,0,，甚至非常小，当试验次数无限增大时，它,(,以概率,1),迟早会出现,.,如果考虑每次试验成功的概率,p,=0.15,，“至少成功一次”的把握不低于,95%,，则,即至少需要进行,19,次试验,.,讲评,1.,小概率事件怎样认识才可以符合客观实际呢？,2.“,设计试验”要考虑哪些因素呢？,1.6.6,小结与思考,我们讲了两个概念：事件的,两两独立,和,相互独立,.,对于这些概念,要正确理解独立性的含义,.,独立性理论在概率论中占有重要的地位，实际问题往往需要应用独立性理论来分析和解决。,1.,两两独立一定相互独立吗？反之如何？,2.,独立一定互斥吗？反之如何？,1.6.7,习题布置,习题,1.6 2,、,5,、,7,、,8.,参考文献与联系方式,1,郑一,王玉敏,冯宝成,.,概率论与数理统计,.,大连理,工大学出版社，,201,5年8月,.,2,郑一,戚云松,王玉敏,.,概率论与数理统计学习指,导书,.,大连理工大学出版社，,201,5年8月,.,3,郑一,戚云松,陈倩华,陈健,.,概率论与数理统计教,案 作业与试卷,.,大连理工大学出版社，,201,5年8,月,.,4,王玉敏,郑一,林强,.,概率论与数理统计教学实验,教材,.,中国科学技术出版社，,20,07年7月,.,联系方式,：,zhengone,