概率论与数理统计教学15-第一章第五节(概率统计).ppt

,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,上页,下页,返回,上页,下页,返回,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 随机事件与概率,1.5,条件概率,1.5,条件概率,内容简介,在自然界及人类的活,动中,存在着许多互相联系、互相影响的事件,.,除了要分析随机事件,B,发生的概率,P,(,B,),外,有时我们还要提出附加的限制条件,也就是要分析“在事件,A,已经发生的前提下”事件,B,发生的概率,我们记为,P,(,B,|,A,).,这就是,条件概率问题,.,我们主要学习条件概率计算公式、概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式,.,这一节,特别重要，一定要学好,.,1.5.2,预备知识,概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布.,1.5.1,提出问题,1.,如何计算,“,第一次取到红球的,条件下，第二次又取到红球的概率,”,？,2.,在三个工厂中的产品中取样，取到次品的概率是多少？,3.,已知取到次品，问该次品来自甲厂的概率是多大呢？,1.,条件概率,1.5.3,问题分析,先考虑下述问题,.,引例,设某盒中有,5,件产品,其中,3,件合格品,2,件次品,.,现每次任取一件,不放回地取两次,.,求：,(1),A,=,第一次取到合格品,的概率；,(2),B,=,第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品,的概率,.,答案是很容易求出的：,(1),的答案是,(2),的答案是,事件,AB,表示第一次和第二次都抽到合格品,.,由于抽取是不放回的,所以每次抽取一个并且连抽两次与一次抽取两个是等效的,因而,P,(,AB,)=,定义,设,A,B,为随机试验,E,的两个事件,且,P,(,A,)0,称,P,(,B,|,A,)=(1.5.1),为在事件,A,发生的条件下事件,B,发生的,条件概率,.,1.5.4,建立理论,总有关系式,P,(,B,|,A,)=,=,=,性质,2,(,条件对立事件概率,),对于任意事件,B,和它的对立事件,仍然成立,P,(,B,|,A,)=1,-,P,(|,A,).,(1.5.2),讲评,对公式,P,(,B,|,A,)=1,-,P,(,B,|),不成立,但,P,(,B,|,A,),和,P,(,B,|),在全概率公式、贝叶斯公式中常用到,.,性质,1,对于不可能事件,有,P,(|,A,)=0.,性质3(条件概率加法公式),对于随机事件,B,1,B,2,和,A,加法公式成立：,P,(,B,1,B,2,|,A,)=,P,(,B,1,|,A,)+,P,(,B,2,|,A,),-,P,(,B,1,B,2,|,A,).,(1,.,5.3),特别地,当,B,1,B,2,互不相容时,加法公式,成立：,P,(,B,1,B,2,|,A,)=,P,(,B,1,|,A,)+,P,(,B,2,|,A,).,(1,.,5.4),讲评,计算条件概率,P,(,B,|,A,)有两种方法：,1.5.5,方法应用,方法1,在样本空间,的缩减样本空间,A,中计算,B,发生的概率,得到,P,(,B,|,A,).,方法,2,在样本空间,中,计算,P,(,AB,),P,(,A,),然后利用公式,(1.5.1),求出,P,(,B,|,A,).,例,1.5.1,设某种动物由出生算起活到,20,岁以上的概率为,0.8,活到,25,岁以上的,概率为,0.4.,如果一只动物现在已经活到,20,岁,问它能活到,25,岁以上的概率是多少？,解,设,A,=该动物活到,20,岁,B,=该动活到,25,岁以上,则,P,(,A,)=0.8,P,(,B,)=0.4.,所以我们得到,因为,B A,所以,P,(,AB,)=,P,(,B,)=0.4.,=,P,(,B,|,A,)=,=0.5.,讲评,在活到,20,岁的条件下，活到,25,岁以上的概率,0.5,要比从出生算起的概率,0.4,大,.,2.,概率乘法公式,定理,1,(,概率乘法公式,),对于任意的事件,A,B,(1),若,P,(,A,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,).,(1.5.5),(2),若,P,(,B,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,).(1.5.6),上面两个等式都称为,概率乘法公式,.,讲评,注意,P,(,AB,),与,P,(,B,|,A,),的区别：,(1),凡涉及到,A,与,B,“,同时”发生,用,P,(,AB,);,有“包含”关系或主从条件关系的用,P,(,B,|,A,).,(2),从样本空间上讲,计算,P,(,B,|,A,),的样本空间为,A,而计算,P,(,AB,),的样本空间为,.,乘法公式可以推广到多个事件的情形,.,推论,设,A,1,A,2,A,n,是,n,(,n,2),个事件,且,P,(,A,1,A,2,A,n,-1,)0,则,P,(,A,1,A,2,A,n,-1,A,n,),=,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,3,|,A,1,A,2,),P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n,-1,),(1,.,5.7),特别地,当,n,=3,时,对于三个事件,A,B,C,若,P,(,AB,)0,则有,P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,C,|,AB,).,(1,.,5.8),例,1.5.2,今有,3,箱货物,其中甲厂生产的,有,2,箱,乙厂生产的有,1,箱,.,已知甲厂生,产的每箱中装有,98,个合格品,不合格品有,2,个,;,而乙厂生产的,1,箱中装有,90,个合格品,不合格品有,10,个,.,现从,3,箱中任取,1,箱,再从这一箱中任取,1,件产品,.,问：,(1),这件产品是甲厂生产的合格品的概率是多少,?,(2),这件产品是合格品的概率又是多少,?,(3),已知取出的是合格品，那么这件合格品是甲厂生产的概率是多少呢？,解,设,A,=,所取产品为合格品,B,1,=,所取产品由甲厂生产,，,B,2,=,所取产品由乙厂生产,.,(1),我们要求的是,A,和,B,1,同时发生的概率,即,P,(,AB,1,).,P,(,B,1,)=,P,(,A,|,B,1,),是在“取甲厂生产的一箱”的条件下取到合格品的概率,其概率应为,P,(,A,|,B,1,)=,.,由概率乘法公式,(1.5.5),得到,P,(,AB,1,)=,P,(,B,1,),P,(,A,|,B,1,),(2),我们要求,A,发生的概率,P,(,A,).,显然，取出的合格品与选自哪一箱有关,.,因为,A,=,A,=,A,(,B,1,B,2,)=,AB,1,AB,2,又,(,AB,1,)(,AB,2,)=,所以,由概率加法公式,(1.3.3),和概率乘法公式,(1.5.5),得到,P,(,A,)=,P,(,A B,1,)+,P,(,AB,2,)=,P,(,B,1,),P,(,A,|,B,1,)+,P,(,B,2,),P,(,A,|,B,2,).,由于,P,(,B,1,)=,P,(,A,|,B,1,)=,P,(,B,2,)=,P,(,A,|,B,2,)=,，,P,(,A,)=,P,(,B,1,),P,(,A,|,B,1,)+,P,(,B,2,),P,(,A,|,B,2,),故,+,=,(3),问题是计算“事件,A,发生条件下,B,1,发生”的概率,即条件概率,P,(,B,1,|,A,).,讲评,(1),此题条件概率计算与概率乘法公式综合应用,.,是常考题型,.,(2),问题,(2),是计算受到多个影响关系的事件,A,概率,.,人们经常把事件,A,分解为若干个互不相容的简单事件之和,A,=,AB,1,AB,2,然后计算这些简单事件的概率,再利用概率加法公式和乘法公式就可得到所求的结果,.,这里所涉及到的公式构成了,全概率公式,.,3.,全概率公式,定理,2,(,全概率公式,),设试验,E,的样本空间为,B,1,B,2,B,n,为,的一个划分,且,P,(,B,i,)0,(,i,=1,2,n,),则对,E,的任一事件,A,有,P,(,A,)=,P,(,B,1,),P,(,A,|,B,1,)+,P,(,B,2,),P,(,A,|,B,2,)+,+,P,(,B,n,),P,(,A,|,B,n,),或简记为,.,(1.5.9),证,因为,A,=,A,=,A,(,B,1,B,2,B,n,)=,AB,1,AB,2,AB,n,由假设,P,(,B,i,)0(,i,=1,2,n,),且,(,AB,i,)(,AB,j,)=,i,j,i,j,=1,2,n,由加法公式和乘法公式,得到,P,(,A,)=,P,(,AB,1,)+,P,(,AB,2,)+,+,P,(,AB,n,),=,P,(,B,1,),P,(,A,|,B,1,)+,P,(,B,2,),P,(,A,|,B,2,)+,+,P,(,B,n,),P,(,A,|,B,n,).,讲评,全概率公式是计算概率的一个很有用的公式,通常把,B,1,B,2,B,n,看成导致,A,发生的一组原因,.,如若,A,是“次品”,必是,n,个车间生产了次品,;,若,A,是“某种疾病”,必是几种病因导致,A,发生,;,若,A,表示“被击中”,必有几种方式或几个人打中,.,(1),何时用全概率公式,:,导致事件的发生有几种情形；所述问题先后进行两次试验,.,(2),如何用全概率公式,:,将几种情形划分为完备事件组；将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组,全概率公式给出了我们一个计算受到多个影响关系的事件概率的公式,:,假,B,1,B,2,B,n,是,的一个划分,并且已知事件,B,i,的概,P,(,B,i,)(,它们是试验前的假设概率,称为先验概率,),及事件,A,在,B,i,已发生的条件下的条件概率,P,(,A,|,B,i,),i,=1,2,n,则由全概率公式,(1.5.9),就可算出,P,(,A,).,4.,贝叶斯公式,贝叶斯,（,Thomas Bayes,17021761,），,英国数学家、哲学家、牧师,.,一个重要的统计学派以贝叶斯命名,.,现在的问题是我们进行了一次试验,如果事件,A,确实发生了,则对于事件,B,i,(,i,=1,2,n,),的概率应给予重新估计,也就是要计算事件,B,i,在事件,A,已发生的条件下的条件概率,P,(,B,i,|,A,)(,它们是试验后的事件概率,常称为,后验概率,).,下面的贝叶斯公式就给出了计算,后验概率,P,(,B,i,|,A,),的公式,.,定理,3,(,贝叶斯公式,),设试验,E,的样本空间,为,.,A,为,E,的事件,B,1,B,2,B,n,为样本,空间,的一个划分,且,P,(,A,)0,P,(,B,i,)0(,i,=1,2,n,),则,i,=1,2,n,.,(1.5.10),贝叶斯公式,(1.5.10),亦称为,逆概率公式,.,证,由条件概率的定义及全概率公式即得,.,在,(5.9),(5.10),中取,n,=2,并将,B,1,记为,B,此时,B,2,就是,那么,全概率公式和贝叶斯公式,分别成为,例,1.5.3,某厂甲、乙、丙三个车间,生产同一种产品,其产量分别占全厂总,产量的,40%,38%,22%,经检验知各车间的,次品率分别为,0.04,0.03,0.05.,现从该种产品中任意抽取一件进行检查,.,(1),求这件产品是次品的概率,;,(2),已知抽得的一件产品是次品,问此次品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？,解,设,A,表示,取到的产品是一件次品,B,i,(,i,=1,2,3),分别表示,所取到的产品来自,甲、乙、丙车间,.,易知,B,1,B,2,B,3,是样本空间,的一个划分,且,(1),由全概率公式可得,(2),由贝叶斯公式分别得到,由此可见，虽然丙车间的次品率最高,(,次品率为,0.05),，但是，根据贝叶斯公式得到的结果可知，次品来自甲车间的可能性却是最大,(,概率为,0.417).,讲评,例,1.5.3,是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的问题,计算这类问题的,关键,是找到问题中的一个划分,以及区分是应用全概率公式还是应用贝叶斯公式,.,所论问题通常是发生两次试验，或者由几种情形导致计算事件的发生,.,到目前为止,我们讲了四个“有名的”重要公式：条件概率公式,概率乘法公式,全概率公式和贝叶斯公式,.,前两个都较为基本,后两个用起来复杂困难些,它们对于计算概率都是很有用的,考研中此类问题占有较大的比例,.,希望读者通过阅读例题及做习题逐步掌握这些公式的运用,.,1.5.6,内容小结,1.5.7,习题布置,习题,1.5 2,、,7,、,10,、,12.,参考文献与联系方式,1,郑一,王玉敏,冯宝成,.,概率论与数理统计,.,大连理,工大学出版社，,201,5年8月,.,2,郑一,戚云松,王玉敏,.,概率论与数理统计学习指,导书,.,大连理工大学出版社，,201,5年8月,.,3,郑一,戚云松,陈倩华,陈健,.,概率论与数理统计教,案 作业与试卷,.,大连理工大学出版社，,201,5年8,月,.,4,王玉敏,郑一,林强,.,概率论与数理统计教学实验,教材,.,中国科学技术出版社，,20,07年7月,.,联系方式,：,zhengone,