分形定价技术一种更有效的权证定价方法.docx

分形定价技术：一种更有效的权证定价方法
课题研究人：严高剑、胡浩
报送单位：中信证券股份有限公司
内容提要
权证，是一种特殊的期权。根据不同的标准，权证可以被分成很多种类。目前中国金融市场为了完成股权分置改革而引入的权证基本上为备兑权证，不会带来股本稀释效应，是和期权最为相近的一种权证。
权证的价值可以分为内在价值和时间价值。影响权证价值的因素有标的资产市场价格、行权价格、标的资产市场价格波动率、剩余期限、无风险利率等。
有效市场假说（Efficient Market Hypothesis, EMH）是现代资本市场理论体系的重要支柱，也是现代金融经济学的理论基石之一。在有效市场假说下，标的资产价格变动是个布朗运动。通过偏微分法和鞅定价方法可以得出权证的BS定价公式。本文通过权证BS定价公式对宝钢、鞍钢、钢钒、沪场四支欧式权证进行定价分析发现，市场价格与BS理论价格之间差异很大，BS定价方法不理想。
BS定价方法失效的原因一方面是由于中国权证市场初期由于制度原因，其价格严重背离理论价值，另一方面可能是模型假设存在问题。本文通过一系列的检验方法发现中国市场收益率正态性假设不成立，因此有效市场假说不成立。进一步地，通过R/S分析发现中国证券市场具有大于0.5的Hurst指数。
金融市场很多模型，包括Black-Scholes模型和Merton模型都是建立在正态分布和随机游动的假设下的。80年代以后随着对该假设质疑的研究的不断出现，很多研究针对股价运动并非随机游走对衍生证券定价模型做出很多修正。随着是市场实证研究的深入，越来越多的人意识到有效市场假说不能很好地解释市场，线性范式失灵。Peters提出的分形市场假说（FMH）成为有效市场假说的替代物。在分形市场假说前提下，资本资产定价模型得到了重构，期权等衍生品定价公式也得到了发展。
通过对宝钢、鞍钢、钢钒三支权证分形定价分析发现在2006年权证市场制度相对完善之后，权证市场价格围绕分形理论价格上下波动。运用权证分形定价公式对中国权证市场进行估值比运用BS定价公式更加准确，分形定价更加适合中国市场，权证分形定价方法给出的权证理论价格误差相对更小。
本文通过运用分形定价技术探讨权证定价问题十分有意义，不仅能够为投资者进行投资选择提供参考，也为可转债定价以及以后出现的股票期权定价提供指导和参考。2005年中国证券市场重新引入权证，建立新兴的权证市场。在这种背景下，本文创造性地选择分形技术作为定价工具对中国权证市场进行实证分析，不仅充分的体现分形技术和金融工程学科的发展前沿，还对中国资本市场估值体系的构建具有重要意义。
目 录
1、引言 4
2、权证定价模型发展 6
2.1、BS定价方法的局限 6
2.2、分形技术的兴起 7
3、权证分形定价公式及避险参数 7
3.1、两种定价公式对比 7
3.1.1、分形布朗运动 7
3.1.2、欧式认购权证BS定价公式 8
3.1.3、欧式认沽权证BS定价公式 8
3.1.4、欧式认购权证分形定价公式 8
3.1.5、欧式认沽权证分形定价公式 9
3.2、分形避险参数 9
3.2.1、对标的资产价格的依赖关系 9
3.2.2、对标的资产波动率的依赖关系 10
3.2.3、对无风险利率的依赖关系 10
3.2.4、对时刻依赖关系 10
3.2.5、对行权价格K的依赖关系 11
3.2.6、对到期日T的依赖关系 11
3.2.7、对Hurst指数的依赖关系 11
4、我国市场正态性检验 11
5、我国市场的分形结构 17
6、权证分形定价应用 19
7、结论与展望 22

1、引言
2005年中国金融市场最为引人注目的莫过于“金融创新”。ETF产品、认股权证、资产证券化产品……以及即将推出的与股票相关的期权期货等产品。一系列的产品创新大大丰富了证券市场交易品种，为投资者提供更多的投资工具。
2005年08月22日宝钢权证于上海证券交易所挂牌上市。这是我国证券市场在阔别数年后迎来的第一个权证产品。
截至2006年3月17日，已上市权证10支，已通过审议未上市权证5支，已公布但未审议权证10支。其中包括认购权证、认沽权证、美式权证、欧式权证、百慕大权证等类型。全周权证总成交额逾百亿。
近年来，海外权证市场庞大的交易规模和快速的增长速度说明这一市场孕育着无限的商机，具有广阔的发展前景。权证出现不仅增加中国金融市场的交易品种，还会促进金融市场规模的扩大，改变金融市场的结构。同时也标志着我国证券市场掀开了新的一页——金融衍生品市场的大幕已经拉开。
本次国内权证的引入是作为股权分置改革对价工具。但是伴随着国内证券市场金融产品创新的深入和国际化进程的加速，权证的投资、融资、避险功能将不断的突现。基础证券市场的发展壮大也为权证的引入提供了必要的市场基础。各市场参与主体对权证这一兼具投资、融资与避险等多重功能的创新产品需求日益增加。
在这种背景下，探讨权证定价问题十分有意义，不仅能够为投资者进行投资选择提供参考，也为可转债定价以及以后出现的股票期权定价提供指导。
本文对经典的有效市场假说和最前沿的分形市场假说两种不同前提下权证定价公式进行对比。并且将它们运用于目前中国权证市场定价分析，发现经典的权证BS定价公式并不适合中国证券市场。通过对中国证券市场正态性检验，R/S分析之后发现中国证券市场存在分形结构。进一步的研究发现运用权证分形定价公式对中国权证进行定价较为合理。
本文第二部分对权证定价方法进行总结。第三部分对比分析了权证定价模型与分形定价模型。第四部分对于我国证券市场正态性进行检验，文中选择了上海证券交易所、深圳证券交易所多个指数日收盘价作为数据样本进正态性实证检验发现该假设不成立。这也是权证BS理论价格与权证市场价格之间存在很大差异的重要原因之一。第五部分运用R/S分析方法对我国证券市场分形结构进行分析，发现无论是上海证券交易所还是深圳证券交易所各指数都具有大于0.5的Hurst指数，因此两个市场指数是一种具有长期记忆性的分形结构而不是随机游走（Hurst指数H=0.5的特殊情形）。最后一部分运用分形技术对国内市场权证进行定价分析。本文对宝钢、鞍钢、钢钒三支权证发行以来市场价格、分形理论价格、BS理论价格进行分析，发现权证市场价格高于BS理论价格很多，而分形理论价格与市场价格比较相近。权证分形定价方法给出的权证理论价格误差相对更小。从权证市场价格与权证分形理论价值的比值来看，大多数权证市场价格在分形理论价格附近波动，其中市场价格与理论价格之比超过2的只有2只；市场价格与理论价格之比小于等于0.5也只有1只。
2、权证定价模型发展
如何为衍生工具进行定价在金融领域已经有很长的历史了。早在1900年，法国数学家Bachelier在其“Theory of Speculation”一文中就利用“公平赌博的方法（Fair Game Approach）”得出到期日看涨期权的预期价格公式并且给出最早的期权回报图，但是他的工作并没有引起金融界的重视。在其后的半个多世纪中，期权定价理论进展甚微。直到二十世纪六十年代，以Sprenkle (1961)看涨期权价格模型、Samuelson (1965)欧式看涨期权模型为代表的期权定价模型的出现，标志着期权定价理论新发展的开始。但是这些模型都存在着可套利的参数（Black and Scholes,1973）。
2.1、BS定价方法的局限
现代期权定价理论最新革命则开始于1973年。Fisher Black 和Myron Scholes（1973）发表了“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文。在一系列严格假设下，作者通过严密的数学推导和论证，提出Black-Scholes模型，成为期权定价理论研究中开创性成果 。在有效市场假说前提下，基于众所周知的无套利定价原理，Black-Scholes模型和Merton模型几乎立即得到学术界和投资界广泛认同，这在经济科学历史上是空前的 。
Black-Scholes模型和Merton模型的基本原理是在一定条件下期权的收益可以通过只包括标的资产和无风险资产的动态自融资投资策略来完全复制。根据无套利原理这个自融资投资策略的初始成本必须等于期权的价格。这种定价思想和方法被应用到成百上千种其他衍生证券上。严密的逻辑，优美的形式以及简单的计算使得Black-Scholes模型（简称为BS方法）在实践应用方面的得到了广泛地采用。
80年代以前在学术界占有统治地位的是Bachelier追随者的有效市场假说，它符合新古典经济学的理性人假定和理性预期假定，对市场价格的波动做出一定的解释。金融市场很多模型，包括Black-Scholes模型和Merton模型都是建立在正态分布和随机游动的假设下的。
80年代以后随着对该假设质疑的不断出现，很多研究针对股价运动非随机游走对衍生证券定价作出很多修正。Merton（1976）提出股票价格路径应该是一个跳跃扩散过程。为了吻合市场实际的结果,同时兼顾数学处理上的需要,合适的收益模型应该至少具备以下几个性质：短时间上收益分布具有比正态分布更厚的尾部,长时间上则趋近正态分布；描述收益过程的分布与其独立增量族的分布一致。基于以上考虑，MadanD.B.与E.Seneta于1990年选择gamma过程作为时变过程来构造时变布朗运动,从而得到相应的资产收益模型。但是在实际运用中，由于参数估计困难，微分方程求解困难等原因使得这些扩展模型相比Black-Scholes模型而言较少使用。
2.2、分形技术的兴起
随着市场实证研究的深入，越来越多的人意识到有效市场假说不能很好地解释市场，线性范式失灵。Peters(1994)提出的分形市场假说（FMH）成为有效市场假说的替代物。在分形市场假说前提下，资本资产定价模型得到了重构（Calvet and Fisher,2002），期权等衍生品定价公式也得到了发展。
McCulloch（1985）提出稳定分布下的期权定价公式，而Lin（1995）,Decreusefond and Ustunel（1999）运用路径依赖积分（Stratonovich型积分）发展了基于分形布朗运动的期权定价公式。但是由于分形布朗运动不具备马尔科夫性等特点使得这种积分下分形布朗运动驱动的市场存在套利。因此人们曾经一度认为分形布朗运动不适合于金融定价。但是在Duncan,Hu and Pasik-Duncan(2000),Hu and Oksendal(2000)推导出Hurst指数属于（0.5，1）时基于Wick算子的分形布朗运动积分，分形布朗运动开始被广泛应用于金融定价。Hu and Oksendal(2000)证明分形布朗运动假设下市场是无套利的，是完全的。Hu, Y. and B. Oksendal等给出了分形布朗运动下欧式看涨期权的定价公式。
3、权证分形定价公式及避险参数
3.1、两种定价公式对比
3.1.1、分形布朗运动
对于，称连续高斯过程为分形布朗运动，若满足条件：，且对成立。
由上述定义知布朗运动是Hurst指数时的分形布朗运动。
3.1.2、欧式认购权证BS定价公式
假定市场满足下列几个条件：
（1），市场是无摩擦的；存在卖空机制；
（2），市场不存在套利机会；
（3），标的资产不支付红利；
（4），标的资产交易可以连续进行而且标的资产具有可分割性；
（5）存在无风险利率；
（6）标的资产价格满足式
则行权价格为，到期日为的欧式认购权证在时刻，标的资产价格为时的价值为

其中，为标准正态分布的累积概率分布函数。
3.1.3、欧式认沽权证BS定价公式
假设条件（1）-（6）成立，行权价格为，到期日为的欧式认沽权证在时刻，标的资产价格为时的价值为

其中，为标准正态分布的累积概率分布函数。
3.1.4、欧式认购权证分形定价公式
假设市场满足（1）-（5）条件，而且标的资产价格满足分形布朗运动：
，，
则行权价格为，到期日为的欧式认购权证在时刻，标的资产价格为时的价值为

其中，为标准正态分布的累积概率分布函数。
3.1.5、欧式认沽权证分形定价公式
假设市场满足（1）-（5）条件，而且标的资产价格满足分形布朗运动：
，，
则行权价格为，到期日为的欧式认沽权证在时刻，标的资产价格为时的价值为

其中，为标准正态分布的累积概率分布函数。
比较上述公式可以发现分形定价公式中用代替BS定价公式中的。因此当给定不同的时刻，相同的剩余期限限时，BS定价公式给出的权证价格相同，而分形定价公式得到的权证价格是不同的。分形布朗运动不具备马尔科夫性的特点使得权证价值依赖于时刻标的资产价格的变化路径。这在某种程度上更好的体现了证券市场的长期记忆性。由于长期记忆性的存在，标的资产价格波动会受到起初始状态的影响，进而影响到权证等衍生品的价值。权证BS定价公式没有反映出这种影响，而权证分形定价公式体现出这种影响。这也是分形市场假说对市场刻画比有效市场假说更加合理的表现之一。
3.2、分形避险参数
根据权证分形定价公式可知，影响欧式权证价格的因素有七个：标的资产价格，行权价格，无风险利率，到期期限，时刻，标的资产波动率，Hurst指数。
3.2.1、对标的资产价格的依赖关系

当标的资产价格上升时，认购权证价格上升，认沽权证价格下降。

3.2.2、对标的资产波动率的依赖关系

认购权证认沽权证价值均随标的资产波动率上升而上升。
3.2.3、对无风险利率的依赖关系

无风险利率上升，认购权证价格上升，认沽权证价格下降。
3.2.4、对时刻依赖关系

3.2.5、对行权价格K的依赖关系

对于不同行权价格，越大认购权证价值越小，认沽权证价值越大。
3.2.6、对到期日T的依赖关系

3.2.7、对Hurst指数的依赖关系

其中

4、我国市场正态性检验
本文选择了上海证券交易所、深圳证券交易所多个指数日收盘价作为数据样本进正态性实证检验。设第日的对数收益率为，则，其中为第日收盘价格。
从图1至10知，无论是上海交易所还是深证交易所日收益直方图与正态分布曲线之间存在差异。相对于正态分布，日收益直方图明显的表现出“尖峰”和“厚尾”态势。在均值附近聚集了大量的样本，而在两侧尾部仍散落着一些不可忽视的样本。尤其是以2003/3/21—2006/3/21三年数据作分析时这种态势更为明显。因此股票资产收益率的正态性得到一定的质疑。
进一步地，对所研究四支权证的标的股票收益率绘制直方图（见附图 至图 ）发现其收益率分布与正态分布曲线之间也存在差异，而其差异比市场指数收益率和正态分布间的差异更显著。其中钢钒和沪场两支认沽权证的标的资产收益率分布与正态分布间的差异尤其突出。
Jarque-Bera检验方法可以用来检验股票收益率正态性。对不同时间段、不同股票资产和市场指数收益率的JB检验结果如表1。由表1结果知，所有的样本序列均无法通过JB检验。从偏度来看，所有指数均呈右偏，而沪场，钢钒有显著的左偏。从峰度来看，均呈尖峰态势。各个JB检验统计量均远大于1%，5%对应的临界点，尾概率接近零，拒绝收益序列服从正态分布的零假设。
表1：收益率JB检验结果
收益序列
均值
方差
偏度
峰度
JB统计量
尾概率
分析时间段：2003/3/21----2006/3/21
上证指数
-0.000175
0.0126
0.6751
5.4898
242.3268
0.0000
上证综指
-0.000213
0.0141
0.4998
4.4592
94.5032
0.0000
上证A指
-0.000170
0.0125
0.6766
5.5049
244.8529
0.0000
深证综指
-0.000378
0.0132
0.4334
4.8957
131.1580
0.0000
深证成指
0.000172
0.0135
0.5597
5.1451
176.8590
0.0000
深证A指
-0.000407
0.0133
0.4267
4.9104
132.2563
0.0000
宝钢
-0.000217
0.0177
-0.5971
10.2187
1617.217
0.0000
鞍钢
0.000543
0.0230
0.0811
5.2713
156.6360
0.0000
沪场
0.000191
0.0222
-5.5911
78.3735
175396.1
0.0000
钢钒
-0.000555
0.0282
-11.115
230.205
1574340
0.0000
分析时间段：2005/3/21----2006/3/21
上证指数
0.000206
0.0130
0.8422
7.7554
257.6944
0.0000
上证综指
0.000492
0.0142
0.5269
5.7967
90.4334
0.0000
上证A指
0.000204
0.0130
0.8500
7.8460
267.0311
0.0000
深证综指
0.000056
0.0142
0.4613
5.6927
82.0269
0.0000
深证成指
0.000144
0.0143
0.7577
6.8188
170.9073
0.0000
深证A指
0.000064
0.0143
0.4548
5.7323
83.9661
0.0000
宝钢
-0.001493
0.0175
-2.1060
19.1514
2820.916
0.0000
鞍钢
-0.000239
0.0245
0.0408
6.1376
99.7431
0.0000
沪场
-0.001350
0.0263
-5.7106
72.3719
50046.90
0.0000
钢钒
-0.001253
0.0412
-10.699
149.927
223208.7
0.0000
从一年数据和三年数据对比来看，除上证A指、深证成指外各指数偏度和峰度变化较小，而上证A指、深证成指一年数据比三年数据更加右偏，峰度更尖。
对不同时间段、不同收益序列运用单样本Kolmogorov-Smirnov过程进行检验，可得结果如表2至5。表2表3中2003/3/21----2006/3/21三年数据检验结果表明,所有的统计量均较大，在5%的显著性水平下可以拒绝原假设，认为所有的收益序列均不服从正态分布。但在1%显著性水平下，无法拒绝上证综指，深证综指，深证A指收益率服从正态分布的假设。
表2：各指数三年数据KS检验结果

表3：各标的股票三年数据KS检验结果

表4表5中2005/3/21----2006/3/21一年数据检验结果表明在1%显著水平下，无法拒绝任何一个市场指数收益率服从正态分布的假设。但是却可以拒绝四支权证标的股票收益率服从正态分布的假设。在5%显著水平下，仍旧无法拒绝深证A指收益率服从正态分布的假设。
表4：各指数一年数据KS检验结果

表5：各标的股票一年数据KS检验结果

综上所述，单支股票收益率的正态假设不成立。这也是权证BS理论价格与权证市场价格之间存在很大差异的重要原因之一。因此运用有效市场假说下权证BS定价公式对中国权证进行定价分析可能存在一定问题。
图1：上证指数收益率直方图

图2：上证综指收益率直方图

图3：上证A指收益率直方图

图4：深证综指收益率直方图

图5：深证成指收益率直方图

图6：深证A指收益率直方图

图7：宝钢收益率直方图

图8：鞍钢收益率直方图

图9：钢钒收益率直方图

图10：沪场收益率直方图

5、我国市场的分形结构
自去年宝钢权证发行以来，我国权证市场价格与BS理论价格之间存在很大差异，其中市场正态性的不满足是重要原因之一。附录中给出了我国证券市场正态性检验的实证结果。这部分，讨论市场的分形结构。
分形市场假说下，标的股票价格变动满足微分方程：

其中为分形布朗运动，而，和Hurst指数都是需要估计的参数。Hurst指数，最早由英国水文学家H.E.Hurst提出来。Hurst 1951提供了重标极差法，即R/S分析用于区分分形序列。经过Mandelbrot、Wallias、Matalas、Peters等的一系列精心提炼，该方法已经成为研究随机结构和非随机结构之间的统计结构的重要方法。通过R/S分析可以计算出Hurst指数，判断状态的持续性。
Hurst在研究水库存储能力的水流入量和流出量序列时发现，

其中，为序列重标极差，为时间区间长度，为常数，为Hurst指数。
两边去对数可得
。
因此只需要计算出不同时间区间长度对应下的重标极差之后就可以利用回归分析来计算Hurst指数了。
表6：Hurst 指数估计结果
分析时间段：2003/3/21----2006/3/21

H
Std.Err
T
Sig.
R
F
Sig.
上证指数
.618
.004
149.159
.000
.992
22248.35
.000
上证综指
.586
.004
134.139
.000
.990
17993.16
.000
上证A指
.620
.004
149.189
.000
.992
22257.45
.000
深证综指
.629
.003
180.388
.000
.995
32521.97
.000
深证成指
.551
.006
99.992
.000
.983
9998.336
.000
深证A指
.637
.003
185.345
.000
.995
34352.68
.000
宝钢
.712
.004
169.453
.000
.990
16757.96
.000
鞍钢
.653
.003
205.193
.000
.996
42104.32
.000
钢钒
.530
.006
90.421
.000
.980
8175.899
.000
沪场
.447
.005
89.311
.000
.979
7976.429
.000
分析时间段：2005/3/21----2006/3/21
上证指数
.669
.009
71.009
.000
.989
5042.258
.000
上证综指
.618
.008
74.055
.000
.990
5484.135
.000
上证A指
.669
.009
71.192
.000
.989
5068.361
.000
深证综指
.696
.010
68.074
.000
.988
4634.021
.000
深证成指
.691
.008
85.498
.000
.993
7309.886
.000
深证A指
.695
.010
68.537
.000
.988
4697.347
.000
宝钢
.688
.011
51.550
.000
.982
2657.435
.000
鞍钢
.645
.013
48.507
.000
.980
2352.890
.000
钢钒
.561
.009
60.991
.000
.987
3719.895
.000
沪场
.466
.012
38.833
.001
.980
2395.663
.000
由表6知，无论是上海证券交易所还是深圳证券交易所各指数都具有大于0.5的Hurst指数，因此两个市场指数是一种具有长期记忆性的分形结构而不是随机游走（Hurst指数的特殊情形）。分形结构也从另外一个方面说明了正态假设不成立。这和国内很多有关中国证券市场有效性以及其分形结构研究得出的结论是一致的。
2005/3/21--2006/3/21数据表明过去一年来看沪市、深市大致分别有，得分形结构。而从2003/3/21—2006/3/21三年数据看，两个市场的分形结构都在附近。这和国内很多研究是一致的，中国证券市场具有附近的分形结构，即具有长期记忆性。虽然选择不同的样本数据段对市场指数的R/S分析得到的Hurst指数可能存在一定的差异，但是对单支股票而言，不同数据段R/S分析结果相对稳定。
其中沪场Hurst指数，说明沪场收益率具有反持续性。这可能是沪场权证市场价格低于BS定价公式给出的理论价值的重要原因。
6、权证分形定价应用
选择宝钢、鞍钢、钢钒的Hurst指数估计值分别为0.7，0.65，0.55。运用分形定价公式对三支权证发行日进行定价分析，其结果见表17。
表7表明，在发行日宝钢权证、鞍钢权证市场价格高于分形理论价格，而钢钒权证市场价格低于分形理论价格。不过除了宝钢权证外，其他两支权证式行价格与理论价格之间差异很小。因此权证分形定价公式对三支权证发行日的定价还是比较准确的。
从值看，钢钒权证值对标的股票价格依赖程度相对较大；从值来看，鞍钢权证对标的股票价格波动率依赖程度相对较小，宝钢权证较大；从值看钢钒权证对无风险利率的依赖程度较大，而鞍钢权证较小；从值看钢钒权证对到期日的依赖较小，宝钢权证对到期日的依赖较大。
从总体看，鞍钢权证对标的资产波动率、无风险利率、到期日等依赖程度较适中，而且其对标的股票价格的依赖程度也较小，对冲时不需要频繁调整投资组合。
表7：发行日三支权证分形定价分析
权证代码
SH580000
SZ030001
SZ038001
权证名称
宝钢JTB1
鞍钢JTC1
钢钒PGP1
权证类型
欧式认购
欧式认购
欧式认沽
发行日
06.8.22
05.12.5
05.12.5
到期日
06.8.30
06.12.5
07.5.3
存续期 (年)
1.024
1
1.5
现在时刻（年）
0
0
0
行权价（元）
4.50
3.60
4.85
发行日标的股票价格(元)
4.63
4.21
3.30
发行日权证市场价格(元)
1.263
1.608
2.111
权证分形理论价格(元)
1.697
1.693
2.042

0.6950
0.7406
-0.4177

0.0835
0.0868
0.1104

1.649
1.3640
1.6432

1.5576
1.3640
-5.6697

-0.0342
-0.0321
-0.0205
由图11至13可看出，分形理论价格与权证市场价格拟合得较好，尤其是宝钢权证发行100个交易日以后，鞍钢和钢钒发行30交易日以后。这说明在中国权证市场推出实时创设制度，市场机制逐步完善，权证市场价格回归之后，通过权证的分形定价公式对其估值是比较合理的。
图11：宝钢权证市场价格、分形理论价格与标的股票价格走势图

图12：鞍钢权证市场价格、分形理论价格与标的股票价格走势图

图13：钢钒权证市场价格、分形理论价格与标的股票价格走势图

图14反映了三支权证分形理论价格对Hurst指数的敏感性。可以看出随着Hurst指数的上升其分形理论价格不断上升，但总体上敏感性较低。其中鞍钢对Hurst指数的敏感性最低，因此Hurst指数的选择对其定价影响不是很大。而宝钢权证对Hurst指数敏感性最高。因此与两种情形下权证理论价值会存在较大差异。而前者正好是其分形理论价格，后者为BS理论价格。因此对于宝钢这种对Hurst指数敏感性较高的权证，当市场存在分形结构时，运用BS定价公式进行定价分析会严重低估其价值。根据分形理论价格与Hurst指数负相关的关系可知沪场权证BS定价公式给出的理论价格低于其市场价格的原因就是未考虑沪场的Hurst指数小于0.5的分形结构。
图14：三支权证分形理论价格对Hurst指数的敏感性

从权证市场价格与权证分形理论价值的比值来看，大多数权证市场价格在分形理论价格附近波动，其中市场价格与理论价格之比超过2的只有2只；市场价格与理论价格之比小于等于0.5也只有1只。
表8：权证分形估值（2006-08-25）
权证名称
权证价格
分形理论
价值
权证价格/
理论价值
Hurst
指数
标的历史
波动率

到期日
武钢JTB1
0.64
0.13
5.10
0.51
30%
2006-11-22
包钢JTB1
0.89
0.63
1.41
0.60
48%
2007-3-30
邯钢JTB1
1.39
1.31
1.06
0.59
49%
2007-4-4
首创JTB1
1.77
1.24
1.43
0.64
40%
2007-4-23
万华HXB1
10.62
8.24
1.29
0.57
50%
2007-4-26
雅戈QCB1
2.97
2.26
1.31
0.55
46%
2007-5-21
长电CWB1
2.70
1.67
1.62
0.58
30%
2007-5-24
鞍钢JTC1
1.08
2.17
0.50
0.65
41%
2006-12-5
五粮YGC1
6.99
6.56
1.07
0.56
56%
2008-4-2
武钢JTP1
0.55
0.33
1.65
0.51
30%
2006-11-22
机场JTP1
1.10
0.60
1.81
0.56
25%
2006-12-22
招行CMP1
0.38
0.44
0.86
0.60
35%
2007-8-31
沪场JTP1
1.26
0.79
1.60
0.45
33%
2007-3-6
包钢JTP1
0.55
0.71
0.77
0.60
48%
2007-3-30
原水CTP1
0.91
0.74
1.22
0.58
37%
2007-2-12
万华HXP1
1.40
0.87
1.61
0.57
50%
2007-4-26
雅戈QCP1
0.66
0.42
1.57
0.55
46%
2007-5-21
海尔JTP1
0.77
0.49
1.57
0.59
21%
2007-5-16
茅台JCP1
1.08
1.15
0.94
0.53
39%
2007-5-29
钢钒PGP1
0.97
0.50
1.94
0.55
47%
2007-5-3
万科HRP1
0.02
0.00
111.44
0.63
44%
2006-9-4
华菱JTP1
1.21
2.12
0.57
0.60
59%
2008-2-29
五粮YGP1
1.23
1.08
1.14
0.56
56%
2008-4-2
深能JTP1
0.68
0.81
0.84
0.61
34%
2006-10-26
中集ZYP1
1.11
1.15
0.96
0.57
42%
2007-11-23
钾肥JTP1
1.70
1.68
1.01
0.55
39%
2007-6-29
7、结论
由于供给等原因，2005年中国权证市场投机氛围过浓，权证价格与标的资产价格联动性小，权证市场价格波动异常，大部分权证价格被严重高沽，背离其价值。
2006年以来权证市场引入认购权证实时创设制度，从而解决了权证供需严重不平衡的矛盾。认购权证价格开始回复正常，与标的股票价格联动变化。
BS权证定价公式严重低估权证价格，尤其是认购权证价格，不适合作为中国权证市场的定价方法。中国证券市场正态性假设不成立，实证表明中国证券市场存在的分形结构。通过对各市场指数R/S分析表明Hurst指数为0.6左右。
对个股分析表明沪场具有小于0.5的Hurst指数，说明其价格变动具有反持续性。这可能是BS定价公式给出的沪场认沽权证理论价值高于市场价值的原因。
通过对宝钢、鞍钢、钢钒权证进行定价分析发现，运用权证分形定价公式对中国市场权证定价比较合适，得出的权证理论价格和市场实际价格之间的差异较少。
分形市场是一个充满强大吸引力的有趣的市场，虽然他不具备正态假定市场那样优美的数学描述，但是市场的本质是一个非线性市场。相比正态假定市场对现实复杂市场的简化，分形技术提出了认识市场的一个很好的工具。
分形技术研究目前在国内外仍是前沿问题，以分形结构为论题检验分形市场假说、讨论市场分形结构的研究很多，但以分形技术作为定价工具对金融产品进行定价分析却很少，进行实证分析得更少，尤其是衍生品定价方面。其主要原因是基于分形布朗运动的微积分理论、拟鞅理论也是2000以来才逐渐开始形成，目前还没有达到完善的状态。很多关于分形定价理论正在展开。
本文通过分析发现中国证券市场收益率正态性假设不成立，经典的BS定价方法给出的理论价格和市场价格差异很大，经典的BS定价方法已经失效。在这种背景下，本文创造性地选择分形技术作为定价工具对中国权证市场进行实证分析，不仅充分的体现分形技术和金融工程学科的发展前沿，还对中国资本市场估值体系的构建具有重要意义。

参考文献

[ 1 ] B. Mandelbrot and J. W. Van Ness (1968) Fractional Brownian motions, fractional noises and applications, SIAM Rev., 10, pp. 422-437.
[ 2 ] B. Mandelbrot (1983) The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco
[ 3 ] Bender, C (2003). An Ito formula for generalized functionals of a fractional Brownian motion with arbitrary Hurst parameter. Stochastic Processes and their Applications, 104, 81-106.
[ 4 ] Calvet, L., and Fisher, A., (2002) Multifractality in Asset Returns: Theory and Evidence The Review of Economics and Statistics 84, 381-406
[ 5 ] Calvet, L., Fisher, A., and Mandelbrot, B.B., (1997a) A Multifractal Model of Asset Returns Cowles Foundation Discussion Paper N