2022-2023学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷
一、细心选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.）

1．（3 分）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“广州中学”四个字的篆书，其中能 看作既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（3 分）在平面直角坐标系中，把抛物线 y = 2x2 向下平移 1 个单位所得的抛物线的函数表达式为( )

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A． y = 2x2 -1
B． y = 2x2 +1
C． y = 2(x -1)2
D． y = 2(x +1)2

3．（3 分）二次函数 y = 2(x + 3)2 + 6 ，下列说法正确的是( )

A. 开口向下

B. 对称轴为直线 x = 3
C. 顶点坐标为(3, 6)

D. 当 x < -3 时， y 随 x 的增大而减小
4．（3 分）下列事件中，必然事件是( )

A．打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C．若 a 是实数，则| a |…0
D．六边形的一个内角为120°
5．（3 分）如图， AB 是eO 的直径，CD 为弦，CD ^ AB 于点 E ，则下列结论中不成立是(
)

A．弧 AC = 弧 AD B．弧 BC = 弧 BD C． OE = BE D． CE = DE

6．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - 4x + k = 0 无实数解，则 k 的取值范围是( )

A. k > 4
B. k < 4
C. k < -4
D. k > 1

7．（3 分）圆锥的高 h = 3 ，母线l = 5 ，则圆锥的侧面积是( )
A．15p B． 20p C． 24p D． 36p
8．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 5 ， AD = 12 ，若以点 D 为圆心，12 为半径作eD ，则下列各点在e D 外的是( )
A. 点 A B．点 B C．点C D．点 D
9．（3 分）如图，RtDABC 中，ÐACB = 90° ，ÐB = 60° ，将DACB 绕点C 逆时针旋转到DCDE
的位置，当CD ^ AB 时，连接 AE ，则ÐCAE 的度数为( )

A． 45° B． 60° C． 65° D． 75°

10．（3 分）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的对称轴为直线 x = -2 ，下列结论：① a > 0 ；

② c < 0 ；③ 4a = b ；④ b2 - 4ac < 0 ；⑤ a - b + c > 0 ．其中正确的有( )

A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

二、耐心填一填（本题有 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分）

11．（3 分）若 2 是关于 x 的一元二次方程 x2 + kx + 2 = 0 的一个根，则常数 k 的值为 ．
12．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心，把点 A(2,1) 顺时针旋转90° 得到点 B(x, y) ，则 x + y 的值为 ．
13．（3 分）在一个不透明的袋中装有 5 个白色小球， n 个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为白球的概率为 1 ，则 n 为 ．
4
14．（3 分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m / s 的速度将小球沿与地面成30°
角的方向击出，小球的飞行高度 h （单位： m) 与飞行时间t （单位： s) 之间的函数关系是：

h = -5t 2 + 20t ，则小球运动中的最大高度是 m ．
15．（3 分）如图， PA ， PB 分别切eO 于点 A ， B ， C 是劣弧上一点，若ÐACB = 130° ，则ÐP = ．
16．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 + x = n 有两个不相等的实数根，则抛物线 y = x2 + x - n

的顶点在第 象限．

三、用心答一答（本大题有 9 个小题，共 72 分，要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）

17．（4 分）解方程： x2 + 4x = 0 ．

18．（4 分）如图， eO 中，弧 AB = 弧 AC ， ÐC = 70° ，求ÐA 的度数．

19．（6 分）2022 世界杯 8 强 1 决赛部分赛程安排如下：
4
时间
比赛队伍
记号
12 月 10 日03 : 00
荷兰VS 阿根廷
比赛 A
12 月 10 日23 : 00
摩洛哥VS 葡萄牙
比赛 B
12 月 11 日03 : 00
法国VS 英格兰
比赛C
甲、乙两位同学各自从这 3 场比赛中随机抽取一场观看直播，请用列表法或画树状图求两位同学恰好观看同一场比赛的概率．

20．（6 分）如图， DABC 的顶点坐标分别为 A(0,1) ， B(3,3) ， C(1, 3) ．画出将DABC 绕点O

旋转180° 后的△ A1 B1C1 ，并求旋转过程中点 B 经过的路线长．

21．（8 分）已知二次函数的图象如图所示．

（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 根据图象直接回答：当 x 为何值时， y < 0 ．

22．（10 分）某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为 6 米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为 x 米，落地窗的面积为 y 平方米．落地窗的高不小于 2 米．
（1） 求 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2） 能否使窗的面积达到 2 平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．

23．（10 分）如图， AB 是eO 的直径，点C 是eO 上一点， AD 和过点C 的直线互相垂直，垂足为 D ， AD 交eO 于点 E ，且 AC 平分ÐDAB ．
（1） 求证：直线CD 是eO 的切线；
（2） 连接 BC ，若 BC = 6 ， AC = 8 ，求 AE 的长．

24．（12 分）如图 1， RtDABC 中， ÐACB = 90° ， AC = BC ， D 为CA 上一动点， E 为 BC延长线上的动点，始终保持CE = CD ．连接 BD 和 AE ，将 AE 绕 A 点逆时针旋转90° 到 AF ， 连接 DF ．
（1） 请判断线段 BD 和 AF 的位置关系并证明；

（2） 当 S


DABD
= 1 BD2 时，求ÐAEC 的度数；
4

2
（3） 如图 2，连接 EF ，G 为 EF 中点， AB = 2
，当 D 从点C 运动到点 A 的过程中， EF

的中点G 也随之运动，请求出点G 所经过的路径长．

25．（12 分）已知抛物线G : y = -x2 + bx + c 交 x 轴于点 A 、 B （点 A 在 B 的左侧），交 y 轴于点C(0, 3) ， A 点坐标为(-1, 0) ．
（1） 求b 和 c 的值；
（2） 如图 1，连接 BC ，交抛物线的对称轴于点 D ，第一象限内的点 P 在抛物线G 上运动， 连接 PD ，以 P 为圆心， PD 为半径作eP ，记eP 的面积为 S ，试求 S 的最小值；
（3） F (m, n) 是抛物线G 上一点，且 F 不与点C 重合，将抛物线的顶点先向左平移两个单位， 再向上平移一个单位， 得到点 E ， 记 T =| FC - FE | ， 是否存在点 F ， 满足：
(m2 - 8m + 18)(n2 + 10n + 28)„6 恒成立，同时使得T 取得最大值？如存在，请求出点 F 的坐

标；如不存在，请说明理由．

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2022-2023 学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、细心选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.）

1．（3 分）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“广州中学”四个字的篆书，其中能 看作既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【解答】解： A ．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B ．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C ．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D ．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选： C ．
2．（3 分）在平面直角坐标系中，把抛物线 y = 2x2 向下平移 1 个单位所得的抛物线的函数表达式为( )

A． y = 2x2 -1
B． y = 2x2 +1
C． y = 2(x -1)2
D． y = 2(x +1)2

【解答】解：Q把抛物线 y = 2x2 向下平移 1 个单位，

\所得抛物线的函数表达式是： y = 2x2 -1 ． 故选： A ．
3．（3 分）二次函数 y = 2(x + 3)2 + 6 ，下列说法正确的是( )

A. 开口向下

B. 对称轴为直线 x = 3
C. 顶点坐标为(3, 6)

D. 当 x < -3 时， y 随 x 的增大而减小

【解答】解： y = 2(x + 3)2 + 6 = 2x2 + 12x + 24 ， a = 2 ， b = 12 ， c = 24 ，

\ A 选项，开口向上，故 A 选项错误； B 选项，对称轴为 x = - b
2a
= - 12
2 ´ 2
= -3 ，故 B 选项

错误； C 选项，顶点坐标的横坐标为 x = -3 ，纵坐标为 6，即顶点坐标为(-3, 6) ，故C 选项

错误； D 选项，开口向上，对称轴为 x = -3 ，在对称轴坐标 x < -3 时， y 随 x 的增大而减小， 故 D 选项正确．
故选： D ．
4．（3 分）下列事件中，必然事件是( )

A．打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C．若 a 是实数，则| a |…0
D．六边形的一个内角为120°
【解答】解： A 、打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛，是随机事件，不符合题意；

B 、从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王，是随机事件，不符合题意；
C 、若 a 是实数，则| a |…0 ，是必然事件，符合题意；

D 、六边形的一个内角为120° ，是随机事件，不符合题意． 故选： C ．
5．（3 分）如图， AB 是eO 的直径，CD 为弦，CD ^ AB 于点 E ，则下列结论中不成立是(
)

A．弧 AC = 弧 AD B．弧 BC = 弧 BD C． OE = BE
【解答】解：Q AB 是eO 的直径， CD 为弦， CD ^ AB 于点 E ，
\ ¶AC = ¶AD ， B¶C = B¶D ， CE = DE ，但OE 不一定等于 BE ，故选项 A 、 B 、 D 正确，选项C 不正确，
故选： C ．
D． CE = DE

6．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - 4x + k = 0 无实数解，则 k 的取值范围是( )

A. k > 4
B. k < 4
C. k < -4
D. k > 1

【解答】解：Q关于 x 的一元二次方程 x2 - 4x + k = 0 无实数解，
\△ = (-4)2 - 4 ´1´ k < 0 ， 解得： k > 4 ，

故选： A ．
7．（3 分）圆锥的高 h = 3 ，母线l = 5 ，则圆锥的侧面积是( )
A．15p B． 20p C． 24p D． 36p

52 - 32
【解答】解：圆锥的底面圆的半径=

所以圆锥的侧面积= 1 ´ 2p´ 4 ´ 5 = 20p． 2
= 4 ，

故选： B ．
8．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 5 ， AD = 12 ，若以点 D 为圆心，12 为半径作eD ，则下列各点在e D 外的是( )
A. 点 A B．点 B C．点C D．点 D
【解答】解：连接 BD ，

52 + 122
在RtDABD 中，由勾股定理得 BD =
Q13 > 12 ，
\点 B 在eD 外，
= 13 ，

故选： B ．

9．（3 分）如图，RtDABC 中，ÐACB = 90° ，ÐB = 60° ，将DACB 绕点C 逆时针旋转到DCDE
的位置，当CD ^ AB 时，连接 AE ，则ÐCAE 的度数为( )

A． 45° B． 60° C． 65° D． 75°

【解答】解：Q RtDABC 中， ÐACB = 90° ， ÐB = 60° ， CD ^ AB ，
\ÐBCD = 30° ，
QDACB 绕点C 逆时针旋转到DCDE 的位置，
\ÐECA = ÐBCD = 30° ， CE = AC ，
\DACE 是等腰三角形，
\ÐCAE = 1 (180° - 30°) = 75° ，
2
故选： D ．

10．（3 分）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的对称轴为直线 x = -2 ，下列结论：① a > 0 ；

② c < 0 ；③ 4a = b ；④ b2 - 4ac < 0 ；⑤ a - b + c > 0 ．其中正确的有( )

A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：Q抛物线的开口方向向上，
\ a > 0 ，
\①的结论正确； 令 x = 0 ，则 y = c ，
\抛物线与 y 轴交于点(0, c) ．
Q抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，
\ c < 0 ，
\②的结论正确；

Q抛物线 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的对称轴为直线 x = -2 ，

\- b
2a

= -2 ，

\b = 4a ．

\③的结论正确；
由图象知：抛物线与 x 轴有两个交点，

\△ = b2 - 4ac > 0 ，
\④的结论不正确；
由图象知：当 x = -1 时， y < 0 ，
\ a - b + c < 0 ，
\⑤的结论不正确．
综上，正确的结论有：①②③， 故选： C ．
二、耐心填一填（本题有 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分）

11．（3 分）若 2 是关于 x 的一元二次方程 x2 + kx + 2 = 0 的一个根，则常数 k 的值为 -3 ．
【解答】解：把 x = 2 代入方程 x2 + kx + 2 = 0 得 4 + 2k + 2 = 0 ， 解得 k = -3 ，
即常数 k 的值为-3 ． 故答案为： -3 ．
12．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心，把点 A(2,1) 顺时针旋转90° 得到
点 B(x, y) ，则 x + y 的值为 -1 ．

【解答】解：如图，过点 A 作 AC ^ x 轴于点C ，过点 B 作 BD ^ x 轴于点 D ，

Q点 A(2,1) ，
\OC = 2 ， AC = 1 ，
Q点 A(2,1) 顺时针旋转90° 得到点 B ，
\OD = AC = 1 ， BD = OC = 2 ， 即 x = 1 ， y = -2 ，
\ x + y = 1+ -2 = -1 ．
13．（3 分）在一个不透明的袋中装有 5 个白色小球， n 个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为白球的概率为 1 ，则 n 为 15 ．
4

【解答】解：根据题意得：

解得： n = 15 ，
n

5 + n
= 3 ，
4

经检验： n = 15 是原方程的解， 故答案为：15．
14．（3 分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m / s 的速度将小球沿与地面成30°
角的方向击出，小球的飞行高度 h （单位： m) 与飞行时间t （单位： s) 之间的函数关系是：

h = -5t 2 + 20t ，则小球运动中的最大高度是 20 m ．

【解答】解： h = -5t2 + 20t = -5(t - 2)2 + 20 ，

Q-5 < 0 ，
\当t = 2 时， h 有最大值，最大值为 20， 故答案为：20．
15．（3 分）如图， PA ， PB 分别切eO 于点 A ， B ， C 是劣弧上一点，若ÐACB = 130° ，

则ÐP = 80° ．

【解答】解：如图，连接OA ， OB ，

Q PA ， PB 分别切eO 于点 A ， B ，
\ÐPBO = ÐPAO = 90° ，
Q ÐACB = 130° ，
\ÐAOB = 100° ，
\ÐP = 360° - ÐPBO - ÐPAO - ÐAOB
= 360° - 90° - 90° - 100°
= 80° ，
故答案为： 80° ．

16．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 + x = n 有两个不相等的实数根，则抛物线 y = x2 + x - n

的顶点在第 三 象限．
【解答】解：Q关于 x 的一元二次方程 x2 + x = n 即 x2 + x - n = 0 有两个不相等的实数根，
\△ = 1 - 4(-n) > 0 ，
\ n > - 1 ，
4

Q抛物线 y = x2 + x - n 的对称轴为 x = - 1 ， y
4 ´ -n -1
( ) 1
= = -n - ，

Q n > - 1 ，
4
则-n - 1 < 1 - 1 = 0 ，
4 4 4
\顶点在第三象限．
故答案为：三．
2 最小值 4 4

三、用心答一答（本大题有 9 个小题，共 72 分，要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）

17．（4 分）解方程： x2 + 4x = 0 ．
【解答】解：方程 x2 + 4x = 0 ， 分解因式得： x(x + 4) = 0 ，
所以 x = 0 或 x + 4 = 0 ， 解得： x1 = 0 ， x2 = -4 ．
18．（4 分）如图， eO 中，弧 AB = 弧 AC ， ÐC = 70° ，求ÐA 的度数．
【解答】解：Q弧 AB = 弧 AC ，
\ÐB = ÐC = 70° ，
\ÐA = 180° - ÐB - ÐC = 180° - 70° - 70° = 40° ， 即ÐA 的度数为 40° ．
19．（6 分）2022 世界杯 8 强 1 决赛部分赛程安排如下：
4
时间
比赛队伍
记号
12 月 10 日03 : 00
荷兰VS 阿根廷
比赛 A
12 月 10 日23 : 00
摩洛哥VS 葡萄牙
比赛 B
12 月 11 日03 : 00
法国VS 英格兰
比赛C
甲、乙两位同学各自从这 3 场比赛中随机抽取一场观看直播，请用列表法或画树状图求两位同学恰好观看同一场比赛的概率．
【解答】解：画树状图得：

Q共有 9 种等可能的结果，其中两位同学恰好观看同一场比赛的情况有 3 种结果，

\两位同学恰好观看同一场比赛的概率为 3 = 1 ．
9 3
20．（6 分）如图， DABC 的顶点坐标分别为 A(0,1) ， B(3,3) ， C(1, 3) ．画出将DABC 绕点O

旋转180° 后的△ A1 B1C1 ，并求旋转过程中点 B 经过的路线长．

【解答】解： 如图所示： △ A1 B1C1 即为所求， 旋转过程中点 B 经过的路线长为：

180p´ 3 2 = 3 2p．
180
21．（8 分）已知二次函数的图象如图所示．

（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 根据图象直接回答：当 x 为何值时， y < 0 ．

【解答】解：（1）设解析式为 y = ax2 + bx + c ．
Q图象过点(1,1) ， (2, 0) ， (0, 0) ，

ìa + b + c = 1
í
\ ï4a + 2b + c = 0 ，
î
ïc = 0

ìa = -1
í
解得ïb = 2 ，
î
ïc = 0

\二次函数的解析式为 y = -x2 + 2bx ；

（2）根据图象知，当 x < 0 或 x > 2 时， y < 0 ．
22．（10 分）某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为 6 米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为 x 米，落地窗的面积为 y 平方米．落地窗的高不小于 2 米．
（1） 求 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2） 能否使窗的面积达到 2 平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．

【解答】解：（1）设窗框的宽度为 x 米，则高为 1 (6 - 3x) 米，
2
窗户的透光面积为： y = x × 1 (6 - 3x) = - 3 x2 + 3x ，
2 2
Q落地窗的高不小于 2 米，
\ 1 (6 - 3x)…2 ，
2
解得 x„ 2 ，
3
\自变量 x 的取值范围为0 < x„ 2 ，
3
\ y 与 x 之间的函数关系式为 y = - 3 x2 + 3x(0 < x„ 2) ；
2 3

（2）不能，理由：
令 y = 2 ，则- 3 x2 + 3x = 2 ，
2
整理得： 3x2 - 6x + 4 = 0 ，
Q△ = b2 - 4ac = 36 - 4 ´ 3´ 4 = -12 < 0 ，
\此方程无解，
\不能使窗的透光面积达到 2 平方米．
23．（10 分）如图， AB 是eO 的直径，点C 是eO 上一点， AD 和过点C 的直线互相垂直，垂足为 D ， AD 交eO 于点 E ，且 AC 平分ÐDAB ．
（1） 求证：直线CD 是eO 的切线；
（2） 连接 BC ，若 BC = 6 ， AC = 8 ，求 AE 的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OC ，
Q AC 平分ÐDAB ，
\ÐDAC = ÐBAC ，
Q OA = OC ，
\ÐOCA = ÐBAC ，
\ÐDAC = ÐOCA ，
\OC / / AD ，
Q AD ^ CD ，
\OC ^ CD ，

Q OC 是eO 的半径，
\CD 是eO 的切线；
（2）解：连接 BC 、CE ，过点O 作OF ^ AE 于 F ， 则 AF = EF ，四边形CDFO 为矩形，
\ DF = OC ， OF = CD ，
Q AB 是eO 的直径，

\ÐACB = 90° ，

AC2 + BC2
82 + 62
\ AB = =
Q AC 平分ÐDAB ，
\ C¶E = B¶C ，
= 10 ，

\CE = BC = 6 ，
设 AF = EF = x ，则 DE = 5 - x ，
Q CE 2 - DE 2 = CD2 ， OA2 - AF 2 = OF 2 ，
\CE 2 - DE 2 = OA2 - AF 2 ，

\62 - (5 - x)2 = 52 - x2 ，
解得： x = 7 ，
5
\ AE = 14 ．
5

24．（12 分）如图 1， RtDABC 中， ÐACB = 90° ， AC = BC ， D 为CA 上一动点， E 为 BC延长线上的动点，始终保持CE = CD ．连接 BD 和 AE ，将 AE 绕 A 点逆时针旋转90° 到 AF ， 连接 DF ．

（1） 请判断线段 BD 和 AF 的位置关系并证明；

（2） 当 S


DABD
= 1 BD2 时，求ÐAEC 的度数；
4

2
（3） 如图 2，连接 EF ，G 为 EF 中点， AB = 2
，当 D 从点C 运动到点 A 的过程中， EF

的中点G 也随之运动，请求出点G 所经过的路径长．

【解答】解：（1）结论： BD / / AF ． 理由：如图 1，延长 BD 交 AE 于点 H ，
Q E 绕 A 点逆时针旋转90° 到 AF ，
\ AE = AF ， ÐEAF = 90° ， 在DBCD 和DACE 中，
ìBC = AC
í
ïÐBCD = ÐACE ，
î
ïCD = CE

\DBCD @ DACE (SAS ) ，
\ BD = AE = AF ， ÐCAE = ÐCBD ，
QÐE + ÐCAE = 90° ，
\ÐE + ÐCBD = 90° ，
\ÐAHB = 90° = ÐFAE ，
\ AF / / BD ；

（2）（2）Q S


DABD
= 1 BD2 ，
4

\ BD × AH = 1 BD2 ，
2

\ AH = 1 BD = 1 AE ，
2 2
\ BH 垂直平分 AE ，
\ BA = BE ，
Q AC = BC ， ÐACB = 90° ，
\ÐABE = 45° ，
又Q BA = BE ，
\ÐAEC = 67.5° ；

（3）如图 2，连接 AG 、CG ，过点G 作GM ^ CE 交CE 延长线于 M ， GN ^ AC 于 N ，

QGM ^ CE ， GN ^ AC ， ÐACM = 90° ，
\四边形CMGN 是矩形，
Q AF = AE ， ÐEAF = 90° ， G 是 EF 中点，
\ AG = GE ， AG ^ EF ，
QÐCAG + ÐACM + ÐCEG + ÐAGE = 360° ，
\ÐCAG + ÐCEG = 180° ，
QÐCEG + ÐGEM = 180° ，
\ÐCAG = ÐGEM ，
又QÐANG = ÐGME = 90° ，
\DANG @ DEMG (AAS ) ，
\ NG = GM ，
\四边形CMGN 是正方形，
\CG 平分ÐACE ，
\点G 在ÐACE 的角平分线上运动，

\ 当 D 从 C 运动到 A 点， G 点所经过的路径是正方形 ACMG 的对角线的一半， 即为
2
1 ´ 2 AC = 1 AB = ．
2 2

25．（12 分）已知抛物线G : y = -x2 + bx + c 交 x 轴于点 A 、 B （点 A 在 B 的左侧），交 y 轴于点C(0, 3) ， A 点坐标为(-1, 0) ．

（1） 求b 和 c 的值；
（2） 如图 1，连接 BC ，交抛物线的对称轴于点 D ，第一象限内的点 P 在抛物线G 上运动， 连接 PD ，以 P 为圆心， PD 为半径作eP ，记eP 的面积为 S ，试求 S 的最小值；
（3） F (m, n) 是抛物线G 上一点，且 F 不与点C 重合，将抛物线的顶点先向左平移两个单位， 再向上平移一个单位， 得到点 E ， 记 T =| FC - FE | ， 是否存在点 F ， 满足：
(m2 - 8m + 18)(n2 + 10n + 28)„6 恒成立，同时使得T 取得最大值？如存在，请求出点 F 的坐

标；如不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）Q点C(0, 3) 在抛物线G : y = -x2 + bx + c 上，

\ c = 3 ，

\抛物线G 的解析式为 y = -x2 + bx + 3 ，

Q点 A(-1, 0) 在抛物线G 的解析式为 y = -x2 + bx + 3 上，

\-1 - b + 3 = 0 ，
\b = 2 ，
即b = 2 ， c = 3 ；

（2）如图 1，由（1）知， b = 2 ， c = 3 ，

\抛物线G 的解析式为 y = -x2 + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4 ，

\抛物线G 的对称轴为直线 x = 1 ，

令 y = 0 ，则-x2 + 2x + 3 = 0 ，\ x = -1或 x = 3 ，

\ B(3, 0) ，

QC(0, 3) ，
\直线 BC 的解析式为 y = -x + 3 ，

\ D(1, 2) ，设点 P(a ， -a2 + 2a + 3)(0 < a < 3) ，

\ S = pDP2 = p[(1 - a)2 + (2 + a2 - 2a - 3)2 ]

= p[(a - 1)2 - 3]2 + 7p，
2 4
当(a - 1)2 - 3 = 0 ，即 a = 1 - 6 （不符合题意）或 a = 1 + 6 时， S 最小，其最小值为 7p；
2 2 2 4

（3）存在，由（2）知，抛物线G 的解析式为 y = -x2 + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4 ，

\此抛物线的顶点坐标为(1, 4) ， 由平移知， E(-1, 5) ，
QC(0, 3) ，
\直线CE 的解析式为 y = -2x + 3 ，
QT =| FC - FE | ，
要T 最大，则点C ， E ， F 在同一直线上，
\点 F (m, n) 在直线CE 上，

\ n = -2m + 3 ①，
Q点 F (m, n) 抛物线G 上，
\ n = -m2 + 2m + 3 ②，

联立①②解得， ìm = 0 或ìm = 4 ，
î
î
ín = 3 ín = -5

Q点 F (m, n) 不与点C(0, 3) 重合，
\点 F (4, -5) ，

\(m2 - 8m + 18)(n2 + 10n + 28) = (16 - 32 + 18)(25 - 50 + 28) = 6 ，

即(m2 - 8m + 18)(n2 + 10n + 28)„6 恒成立，

\存在点 F (4, -5) ，满足： (m2 - 8m + 18)(n2 + 10n + 28)„6 恒成立，同时使得T 取得最大值．