北邮概率论与随机过程_2010—2011学年第2_学期期末A卷.doc

北京邮电大学2010——2011学年第2 学期
3学时《概率论与随机过程》期末考试（A）
一． 填空题
　设随机事件满足, 且, 则 1-p
2. 设每次实验中事件出现的概率为,在三次独立重复试验中, 至少出现一次的概率为, 则= 1/3
3. 随机变量服从参数为1的泊松分布,则=
4. 设随机变量服从正态分布，记，且已知，则 　０．９８７６
5. 已知随机变量服从均匀分布，则矩阵的特征值全为实根的概率为 　４／５
6. 已知随机变量的密度函数为，则
7. 设连续型随机变量的分布函数为，则时，的概率密度函数＝　　　　　　
8. 已知随机变量服从均值为１的指数分布，则的分布函数＝ 　　
9. 已知随机变量服从二维正态分布，则的概率密度函数＝ 　　
10. 设的联合概率密度为, 则概率= 　　
11. 设随机过程, 其中是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数= 　　
12. 设是参数为的维纳过程, 则= 　　
13. 设平稳高斯过程的均值为零, 相关函数为, 则对任意固定的, 的概率密度函数= 　　
14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链的状态空间是,平稳分布为, 若, 则方差= 　　11/16
15. 设为平稳随机过程，功率谱密度为, 则其平均功率为 1
二. （１5分）
设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布, 且顾
客的消费相互独立. 求:
(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差;
(2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元;
(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率.
解. (1) 设是第i位顾客的消费额, 则由题意,

设X表示该餐厅的日消费额, 则 因为 , 则
(5’)
(2 ) 设Y是消费额超过50元的顾客数. 则, 所以
(5’)
(3) 由中心极限定理得
(5’)
三．（１5分）
设二维随机变量具有概率密度

求(1)系数; (2)边缘概率密度，并问是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度，.
解.(1) (3’)
(2)
(6’)
由于,所以不独立.
(3) 当时, ,
当时, (6’)
四．（１5分）
设齐次马氏链的状态空间为，一步转移概率矩阵为
　　　　，
　初始分布为
(1) 求;
(2) 求的相关系数;
(3) 证明马氏链具有遍历性，并求其极限分布．
解 (1) ,

= (5’)
(2) 的分布率

的联合分布率
\
0
1
2
0
1/6
1/12
1/12
1
1/12
1/6
1/12
2
1/12
1/12
1/6

(5’)
(3) 由P(2)知马氏链遍历,
由得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’)
五．（１0分）
设某线性系统的脉冲响应函数为，将平稳过程输入到该系统后, 输出平稳过程的谱密度为，求：(1)输入平稳过程的的谱密度； (2)自相关函数； (3)输入与输出的互谱密度．
解： ，

(1) (4分)
(2) (3分)
(3) ． (3分)

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