复变函数与积分变换模拟题(开卷).doc

中国地质大学（北京）继续教育学院 2014年12课程考试
《复变函数与积分变换》模拟题（补）

一．判断题
1．函数若在某点可导一定在该点解析。 （ × ）
2. 若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在区域D内沿任意一条闭曲线C的积分为0。（ × ）
3. 的一阶极点。 （ × ）
4. 不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同。 （ ∨ ）

5．函数在某区域内的解析性与可导性等价。 （ ∨ ）
6．若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析当且仅当连续且满足柯西-黎曼方程。 （ × ）
7．的本性奇点。 （ × ）
8．若的共轭调和函数，那么的共轭调和函数。 （ × ）

二．填空题
1．= 1 。
2．设求的虚部= 。
3．= 。
4．的孤立奇点的类型为 极点 （可去奇点、极点、本性奇点）。
5．L[t2+3t+2]= 。
6. = 1 。
7. 的收敛半径为 ∞ 。
8． 函数的解析区域为 。
9． 的孤立奇点的类型为 本性奇点 （可去奇点、极点、本性奇点）。
10. 设C为正向圆周|z|=1,则= 0 。
三．计算题
1. 分别给出的三角形式的指数形式.
解： ，,
因此三角形式为
指数形式为
2. 判断下列函数在何处可导，何处解析？
1）； 2）
解：1）四个偏导函数均连续，但柯西黎曼方程仅在x=y处成立，故函数在x=y处可导，处处不解析. (4分)
2)
显然四个偏导数处处连续且柯西-黎曼方程处处成立，所以函数处处可导，处处解析.
3. 设C为正向圆周|z|=3，计算积分I=。
解：因为函数在内的奇点为：,
首先由复合闭路定理有
，
由柯西积分公式有：

所以
本题也可按留数定理去做.

4．求函数的傅里叶变换。
解：F [f(t)]= .

5．求下列各函数在孤立奇点处的留数。
1) ；
2) 在z=2处的留数；
3) 。
解：1） 0是的奇点，因为，故z=0为可去奇点，因此
.
2）z=2是的一阶极点，故
.
3）z=1是的本性奇点，因为在1<|z|<+∞
，
故.

6．求解微分方程
解： 设L [x(t)]=X(s) 对方程两边实行拉普拉斯变换得到

即

所以，
故.

7．判断函数在何处可导，何处解析？
解：

四个偏导函数均连续，但要满足柯西黎曼方程

需在处成立，故函数在处可导，处处不解析.

8．已知，求以v(x,y)为虚部的解析函数f(z)且f(i)=-1。
解：显然是调和函数. 因f(z)解析，由柯西-黎曼条件，
，
由上面第一式得到：代入第二式得
有，因此

因

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