学而思高中数学11函数的奇偶性与对称性.doc

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板块二.函数的奇偶性与对称性

典例分析

题型一：判断函数奇偶性
1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ．

【例2】 判断下列函数的奇偶性：
⑴； ⑵； ⑶； ⑷．

【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：
⑴ 且；
⑵ ；
⑶ ．

【例4】 判别下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；（3）.

【例5】 判断函数f(x)=的奇偶性．

2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内
（1）两个偶函数之和（积）为偶函数；
（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；
（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．
【例6】 判断下列函数的奇偶性：
⑴
⑵ ，其中且，为奇函数．

【例7】 若函数f(x)= g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性．

【例8】 函数与有相同的定义域，对定义域中任何，有，，则是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

【例9】 已知，．则乘积函数在公共定义域上的奇偶性为（ ）．
A．是奇函数而不是偶函数 B．是偶函数而不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数

【例10】 已知函数是奇函数；（x≠0）是偶函数，且不恒为0，判断的奇偶性．

题型二：求解析式与函数值
1.利用函数奇偶性可求函数解析式．
【例11】 函数为奇函数，则的取值范围是（ ）．
A．或 B．或
C． D．

【例12】 设是上的奇函数，且当时，，那么当时，=_________．

【例13】 已知偶函数f(x)的定义域为R，当x≥0时，f(x)=，求f(x)的解析式．
设x＜0，则－x＞0

【例14】 已知函数为上的奇函数，且当时．求函数的解析式．

【例15】 已知函数，当为何值时，是奇函数？

【例16】 已知是偶函数，时，，求时的解析式.

【例17】 已知是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式.

【例18】 图象关于对称，当时，，求当时的表达式．

【例19】 已知函数是奇函数,且,求的值.

2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．
即 f(x)=[F(x)+G(x)] 其中F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)－f(-x)
利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．
【例20】 定义在R上的函数f(x)=，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．

【例21】 已知是奇函数，是偶函数并且，则求与的表达式．

【例22】 已知是奇函数，是偶函数，且，求、．

3.利用函数奇偶性求函数值
【例23】 已知f（x）求f(2).

【例24】 已知（、、为实数），且．则的值是（ ）．
A． B．-3 C．3 D．随、、而变

【例25】 ⑴ 若是定义在上的奇函数，则=__________；
⑵若是定义在上的奇函数，，且对一切实数都有，则=__________；
⑶设函数且）对任意非零实数满足，则函数是___________（指明函数的奇偶性）

【例26】 已知函数．若、、且，，．则（ ）．
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零或小于零

【例27】 设函数的最大值为，最小值为，则与满足（ ）．
A． B．
C． D．
【例28】 函数在上有定义，且满足①是偶函数；②；③是奇函数；求的值．

题型三：奇偶性与对称性的其他应用
1.奇偶性与单调性
【例29】 已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．

【例30】 已设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.

【例31】 已知为上的奇函数，且在上是增函数．
⑴求证：在上也是增函数；
⑵若，解不等式，

【例32】 已知函数，当时恒有 ．
①求证：函数是奇函数；
②若，试用表示．
③如果时，且．
试判断的单调性，并求它在区间上的最大值与最小值．

【例33】 设函数（且对任意非零实数，恒有，
⑴求证：；
⑵求证：是偶函数；
⑶已知为，上的增函数，求适合的的取值范围．

【例34】 知都是奇函数，的解集是，的解集是，，那么求的解集．

2.函数对称性
【例35】 设函数对于一切实数都有，如果方程有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____．

【例36】 当实数k取何值时，方程组有惟一实数解.

【例37】 设a是正数，而是XOY平面内的点集，则的一个充分必要条件是（1986年上海中学生竞赛题）.

【例38】 试证是整数.
上例可推广为：设m、n为自然数，证明是整数.

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