精算模型分析.pptx
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1、第二章第二章 个别保单的理赔额和理赔次个别保单的理赔额和理赔次数数第一节 理赔额的分布一、常用名词 投保人(insurer)承保人,保险公司(insurance)损失事件(loss event or claim)注意:事故不等于损失事件损失额(loss)理赔事件(payment event)赔付额,理赔额(amount paid)注意:损失事件不等于理赔事件,理赔额不等于损失额 记号:X表示投保人实际损失额(ground-up loss)。Y表示保险人每次理赔事件的赔付额(amount paid per payment),简称理赔额;Y*表示投保人每次损失事件中获得的实际索赔额(amount
2、paid per loss)二、常见的部分赔偿形式1、免赔额(deductible)含义:当损失额低于某一限额时不做赔偿,这一限额称为免赔额(或自付额),当损失额高于免赔额,只赔偿高出的部分。例如 免赔额为50元数学形式:例例1:已知某风险标的的原始损失额如下:012340.40.20.20.150.5假设免赔额为1,求每次理赔事件的赔付额Y和每次损失事件的赔付额的分布。012340.40.20.20.150.05001230.2/0.40.15/0.40.05/0.40.40.20.20.150.05YL的分布容易计算,YP的分布是在Xd的条件下,Xd的条件分布。记YP的分布函数记为F YP
3、(y),当y0时为,当y0时,YP的分布密度函数可以写为2、保单限额(Policylimit)含义:每次保险事故中按保险单所约定的最高赔偿金额。例如:最高保单限额为1500元数学形式:,请问:当免赔额和保单限额同时存在时,情况会怎样?例例2:设某医疗保险单上规定了免赔额为100,保单限额为5,000,有三个投保人看病花费分别为50,4000,和5500,问他们获得的赔付额各是多少?注意:如果同时规定最高保单限额为u,免赔额为d,则投保人所能得到的最高赔偿金额为u。未定义解解:设Xi表示第i个投保人的损失额,Yi表示他所获得的赔付,则所以,由X1=40,X2=4000,X3=5500,得Y1=0
4、,Y2=4000-100=3900,Y3=5000例例3:假设某险种的保单规定免赔额为100元,保单限额为900元。假设损失服从Weibull分布,求理赔额YP的分布。解解:设X表示实际损失额,YP表示理赔额,则YP的分布函数和分布密度分别为未定义当y900时,当时,3、比例分担含义:在保险单中约定一个比例常数,当损失事故中的实际损失额为X时,保险公司只赔付aX,例如,a0.8当免赔额、保单限额和比例分担三者同时存在时未定义三、理赔额的期望 记号显然,设X表示损失额,YP表示每次赔偿理赔额,YL每次损失的赔付额免赔额情形:保单限额保单限额、免赔额同时存在比例分担、保单限额、免赔额同时存在:1、
5、有限期望函数 性质1.2.对于非负随机变量X,3、对非负随机变量X,证明:例例4 4:设某险种的损失额X具有密度函数x0,假定最高理赔额为u=4万元,求理赔额的期望是多少?解解:设理赔额为Y,则由知2、剩余期望函数E(X),eX(d)与E(Xd)的关系E(X)=E(Xd)+eX(d)(1-F(d)例例5:设某险种的损失额X具有密度函数假定免赔额等于0.2万元,求每次损失事件实际赔付额和每次理赔额事件理赔额Y的期望。解解经计算得到 ,且上面的例子可以总结为下面的定理:定定理理设X表示实际损失额,免赔额为d,比例分担额a,保单覆盖的最大损失u,则每次损失赔付额YL和赔偿的理赔额Y的期望分别为证明:
6、保单覆盖的最大损失u,则最高赔偿额为可以表示为所以由于YP是Xd条件下,的值,因此四、通货膨胀效应1、通货膨胀率已知为r对损失额的影响设X表示过去时期内损失额,Z表示现在或未来时期内的损失额,则两者的关系为Z=(1+r)X。容易计算得到对理赔额的影响:定定理理:设X表示实际损失额,免赔额为d,保单覆盖的最大损失u和比例分担额a,通货膨胀率为r,则明年每次损失赔付额为每次理赔的理赔额为例例6假设某险种在2003年的实际损失额服从离散分布。保单上规定每次损失的免赔额为1500元。假设从2003年到2004年的通货膨胀额为5,2004年的免赔额保持不变,求2004年的每次损失赔付额的期望是多少。比今
7、年相比,增长率是多少?解解今年每次损失的索赔额为明年每次损失的索赔额为增长率为82通货膨胀率是随机的考虑模型Y=CX,随机变量C和X是独立的,C1,C表示随机通货膨胀,一般是主观预测得来,设其分布函数为FC(c),密度为fC(c)。若X的分布函数为满足 ,则容易计算出,明年的损失额的期望和方差为这是因为例例7预测明年的通货膨胀率在2%到6%之间,而且低通货膨胀率的可能性更大。设损失X服从均值为10的指数分布,求明年损失额的期望。解解:不妨考虑这样一个密度函数其中这个密度函数满足低通货膨胀率的可能性更大这个条件。经计算得到C的期望和方差为于是由公式计算得到第2节 理赔次数主要内容1、母函数与矩母
8、函数2、一张保单的理赔次数分布3、理赔次数的混合分布4、理赔次数的复合分布5、免赔额对理赔次数分布的影响1、N的母函数与矩母函数设N是一个离散随机变量,取值于 0,1,2,记其母函数为矩母函数为母函数与矩母函数的关系母(矩母)函数性质1、若N的母(矩母)函数存在,那么母(矩母)函数与分布函数是相互唯一决定的。2、由母(矩母)函数可以导出矩的计算:请问3、设NN1+Nn,Ni相互独立,则二、一张保单的理赔次数分布1、泊松分布(Poisson)对于保险公司而言,客户因发生损失而提出理赔的人数类似于等待服务现象,因此对大多数险种来说,个别保单的理赔次数可用泊松分布来表示,即在单位时间内个别保单发生理
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