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第五章 测量误差及测量平差
§5.1 测量误差概述
一、测量误差的概念
某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。
（i=1、2、……、n） X为真值。
二、研究测量误差的目的
分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。

三、测量误差产生的原因
1.测量仪器因素
2.观测者的因素
3.外界条件的因素
　测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
　等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
　非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。
四、测量误差的分类
1.系统误差
在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。
其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
　2.偶然误差
在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。
五、减少测量误差的措施
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
　　对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。

§5.2 偶然误差的特性
一、精度的含义
1.准确度
准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。
2.精密度
精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。
3.精度
精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。
由于系统误差总是可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响，我们认为观测结果中的误差主要是偶然误差。实际测量中通常真值是不知道的，所以测量中所讲的精度，通常指的是精密度。
测量学上研究的误差是偶然误差。
二、偶然误差的特性
通过对偶然误差统计规律的分析，来找出其具有的特性。本例以对一三角形内角和观测结果（独立观测162次）来说明。
真误差——观测值与真值的差值。
△i= li– X , i=1,2,…,162
将162个真误差先进行统计分析，取误差区间d△为0.2″,各误差区间的个数为k ，相对个数为k/n，n为总个数，见表5-1。从表5-1中可以看出一些规律。
　　为了更直观表示误差的分布情况，可用直方图的形式来表示。

其方程式为：
　式中：x=△，σ=m(中误差) ,即标准偏差。

　根据以上分析，偶然误差有以下特性：
1.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。
2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会多。
3.绝对值相等的正、负误差出现的机会均等。
4.偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于零，即：

§5.3　 衡量测量精度的指标
　精度——误差分布的密集或离散程度
　衡量测量精度的指标主要有中误差、相对中误差和极限误差。
一、中误差
各个真误差的平方的平均值的平方根，称为中误差，用m表示。
式中：[△△]= △12+△22+……+△n2
m值越大，精度越低，m值越小，精度越高。
二、相对中误差
　　评价测距精度时，用以上绝对的误差值是不能反映实际精度的高低，而应用相对中误差来评价。
相对中误差是观测值中误差的绝对值与观测值之比，通常化成分子为1的分数式。
Ｔ值越小，表示精度越高，即M越大，精度越高。
三、极限误差
　　　　极限误差也称为容许误差或限差。根据偶然误差的特性，在一定的观测条件下偶然误差不会超过一定的限度，这个限值即为极限误差。
　　　　统计表明，△>m的概率为32%
△>2m的概率为5%
△>3m的概率为0.3%
因此,通常取三倍中误差作为偶然误差的极限值,即
△容= 3m
要求严格时,也常取二倍中误差作为极限误差,即
△容= 2m

§5.4 误差传播定律
有些未知量是不能直接测定的，而是要通过观测值按一定的函数关系计算而得，那么，函数中误差与观测值中误差的关系如何呢？
误差传播定律：阐述函数中误差与观测值中误差之间的关系。
一、观测值一般函数的中误差
设有函数Z = f (x1,x2,…,xn)
对函数取全微分得：
令观测值x1, x2,…, xn的真误差为△x1,△x2,…,△xn,函数Z的真误差为△Z，由于真误差一般都很小，故上式可写成：
　　当函数关系确定时，偏导数为常数，则令：
　　　　则
　　　　　　△Z=k1△x1+ k2△x2+ …+ kn△xn
　　　　设对观测值x1, x2,…, xn进行了n次等精度观测，则有
　　　　 △Z=k1△x11+ k2△x21+ …+ kn△xn1
△Z=k1△x12+ k2△x22+ …+ kn△xn2

△Z=k1△x1n+ k2△x2n+ …+ kn△xnn
把上式两边平方，相加后再除以n得：
根据偶然误差的特性4，上式写成：
根据中误差的定义，有：
mZ2=k12mx12+ k22mx22+…+ kn2mxn2
即：

　　例：量得一球体的直径为10.5cm，已知其量测中误差为±0.5mm，求该球的体积及其中误差。
解：函数关系为：
=±8659mm3
=±8.659cm3

二、求观测值函数中误差的基本步骤
1.按问题的要求，列出具体的函数关系式；
2.对各观测值求偏导数；
3.写出函数中误差与观测值中误差的关系；
4.计算相应函数值的中误差。

三、几种观测值典型函数的中误差
1.和差函数的中误差
设有函数 Z= x1±x2±…±x2

若m1=m2=…=mn
2.倍数函数的中误差
设倍数函数 Z=kx
则有 mz=km
说明所求值与观测值是倍数关系的话，其中误差也是倍数关系。
3.线性函数的中误差
设有线性函数 Z=k1x1±k2x2±…±knxn
则有：

§5.6 等精度观测的直接平差
一、求最可靠值
1.算术平均值　
若对某一量进行n次等精度观测，观测值为l1,l2,…,ln,则这些观测值的算术平均值x为：

2.等精度观测值的最可靠值
算术平均值有什么作用呢？　设该量的真值为Ｘ，则有：

　 △1=l1—X
　　　　　△2=l2—X
　．
　　　　　　　．
△n=ln—X
上式相加得：
根据偶然误差的特性４，当n→∞时，即Ｘ＝x，表明当观测次数无限多时，算术平均值就是该值的真值，实际上观测次数总是有限的，在这种情况下，算术平均值与真值之间只差一个微小量［△］/n，所以算术平均值是观测值的最可靠值。　　
二、精度评定
　当被观测量的真值知道时，可用下式计算中误差：
　　若被观测量的真值不知道时，则应用下式计算中误差：
　　v为观测值的改正数。

　1.观测值的改正数
观测值的算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数。当观测次数为n时，有：
　　　　　　　v1= x—l1
v2= x—l2 ……　⑴

vn= x—ln
将上式相加得：
［v］＝n·x —[l ]=0, 即［v］=0,　用于计算检核。
　2.观测值的中误差
在实际测量中，某量的真值往往是不知道的，因此要先求出算术平均值，再得出改正数，按下式计算中误差：
　　其推导过程为：
　　设对真值为Ｘ的某一量进行n次等精度观测，则有
　　　　　　　　　△1＝l1—Ｘ
△2＝l2—Ｘ ……⑵

△n＝ln—Ｘ
　　⑵－⑴并移项得：
　 　△1＝—v1—(Ｘ—x)
△2＝—v2—(Ｘ—x) ……⑶

△n＝—vn—(Ｘ—x)
　　⑶式两边平方后再相加得：
　　　　　　　[△△]=[vv]+n(X—x)2+2(X—x)[v]
即得　[△△]=[vv]+n(X—x)2
式中（X-x）是算术平均值的真误差，无法求得，用算术平均值中误差M代替，上式两边同除n得：
该式即为当真值未知时用改正数计算观测值中误差的计算公式。n-1为多余观测数。
例：对某距离丈量了５次，结果为：15.154m，15.158m，15.155m， 15.156m，15.157m。求观测值中误差及相对中误差。
解：先求出算术平均值：
再求改正数：
v12=(15156-15154)2=4 v22=4， v32=1， v42=0，v52=1 [vv]=10

3.算术平均值的中误差
设对某量进行n次等精度观测，观测值中误差为m，则算术平均值的中误差Ｍ为：，其推导过程如下：

从上式可看出，取多次观测值的平均值可以提高观测结果的精度。
在实际测量工作中，不能单凭增加观测次数来提高精度，而应选用适当的观测方法和观测次数来达到要求。P.100

例：已知DJ6光学经纬仪一测回方向值中误差为±6″，现用DJ6光学经纬仪观测某单角，使最后得到的角值中误差达到±4″，问需要观测几各测回？
解：根据误差传播定理，一测回观测单角的中误差为：

再根据
则有4.5 所以要观测5个测回。

作业题：习题五： 2、6、9、10、11、13、14