高考数学文基础知识总复习名师讲义函数yAsin.doc

1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象．
2．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．

知识梳理
一、三角函数图象的作法
1．几何法(利用三角函数线)．
2．描点法：五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正切曲线)．
(1)正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为0，，π，，2π的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移2kπ(k∈N*)个单位长度，即得函数的整个图象．
(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法．
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：

图象与x轴的交点：正弦函数为________，k∈Z，余弦函数为________，k∈Z，正切函数为________ ，k∈Z.
二、三角函数图象的对称轴与对称中心
正弦曲线y＝sin x的对称轴为x＝__________(k∈Z)，对称中心为________(k∈Z)；
余弦曲线y＝cos x的对称轴为x＝__________(k∈Z)；对称中心为________，(k∈Z)；
正切曲线y＝tan x的对称中心为________(k∈Z)．
其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处有最大(小)值．
三、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的画法
1．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图．
设X＝ωx＋φ，由X取0，，π， ，2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图．
2．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)的一些结论：
最大值是A＋B，最小值是B－A，周期是T＝，频率是f＝，相位是ωx＋φ，初相是φ(即当x＝0时的相位)；其图象的对称轴是直线ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，凡是该图象与直线y＝B的交点都是该图象的对称中心．
对于y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．
3．利用图象变换作三角函数的图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的作法．
(1)________或叫沿y轴的伸缩变换：由y＝sin x的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A|＞1)或缩短(当0＜|A|＜1)到原来的________倍，得到y＝Asin x的图象．
(2)________或叫做沿x轴的伸缩变换：由y＝sin x的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0＜|ω|＜1)或缩短(|ω|＞1)到原来的________倍，得到y＝sin ωx的图象．
(3)________或叫做左右平移：由y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平行移动________个单位长度，得到y＝sin(x＋φ)的图象．
(4)上下平移：由y＝sin x的图象上所有的点向上(当B＞0)或向下(当B＜0)平行移动________个单位长度，得到y＝sin x＋B的图象．
4．由y＝Asin(ωx＋φ)的图象求其解析式．
给出图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的题型，一般从寻找“五点”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．

一、2.(2)(kπ，0)　　(kπ，0)
二、kπ＋　(kπ，0)　kπ　　
三、3.(1)振幅变换　|A|　(2)周期变换　　(3)相位变换　|φ|　(4)|B|

基础自测
1．(2013·唐山模拟)函数y＝sin 3x的图象可以由函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向左平移个单位得到
B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到
D．向右平移个单位得到

解析：因为sin 3x＝cos＝cos＝
cos3.
所以函数y＝cos 3x的图象向右平移个单位即可得到函数y＝sin 3x的图象，故选D.
答案：D

2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　)

解析：f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]上为奇函数，
x在原点右侧附近f(x)>0.可排除A、B.f(x)在上是增函数，且当x＝时，f(x)＝1.排除D.故选C.
答案：C

3．(2012·广东金山中学综合测试)如果函数y＝3cos(2x＋θ)的图象关于点成中心对称，那么|θ|的最小值是________．

解析：对称中心的横坐标满足2x＋θ＝kπ＋(k∈Z)，当x＝时，解得θ＝kπ－，当k＝2时，|θ|最小，最小值为.
答案：

4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝______.

解析：由图可知A＝，＝π－＝，ω＝2，2×＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋，
∴f(x)＝sin(k∈Z)，
∴f(0)＝sin＝.
答案：

1．(2013·福建卷)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)

A. B. C. D.

解析：本题考查的三角函数的图象的平移．把P代入f(x)＝sin(2x＋θ)，解得θ＝，所以g(x)＝sin，把P代入得，φ＝kπ或φ＝kπ－，观察选项，故选B.
答案：B

2．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g (x)在区间上的最小值．
解析：(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx，
所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.
由于ω＞0，依题意得＝π，
所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1⇒≤sin≤⇒1≤sin4x＋＋≤，故g(x)在区间上的最小值为1.

1．(2013·广州二模)若函数y＝cos(ω∈N＋)的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1　　　　　B．2 C．4　 D．8

解析：因为函数y＝cos(ω∈N＋)的一个对称中心是，所以cos＝0，∴ω×＋＝kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋2，k∈Z.
再由ω为正整数可得ω的最小值为2，故选B.
答案：B

2．(2012·长春调研)函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0且|φ|＜在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)
A. B. C. D.

解析：因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间上单调递减，又函数值从1减小到－1，可知－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原式为y＝sin(2x＋φ)．又由函数过点，代入可得φ＝，因此函数为y＝sin，令x＝0，可得y＝.
答案：A