十数学分析1考试试题.doc

（十）《数学分析1》考试试题
一、叙述题
1叙述闭区间套定理；
2用肯定的形式叙述函数在数集D上无上阶；
3叙述Rolle微分中值定理；
二、计算题
1 求极限 ；
2 求摆线 ， 在处的二阶导数的值；
3 设，求不定积分 ；
4 求不定积分 ；
三、讨论题
1讨论函数 在点处的左、右导数；
2设 ， ， ，讨论在上的单调性的最大值点；
四、证明题
1用定义证明 ；
2证明：方程，（其中为常数）在上可能有两个不同的实根；
3若数列收敛于（有限数），它的任何子列也收敛于。

（十一） 一年级《数学分析》考试题
一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：
1 设数列递增且 （有限）. 则有. ( )
2 设函数在点的某邻域内有定义. 若对,当
时, 数列都收敛于同一极限. 则函数在点连续. ( )
3 设函数在点的某邻域内有定义. 若存在实数,使时,
则存在且. ( )
4 若则有( )
5 设 . 则当时,
有. ( )

二（ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题:
1 .
2 函数 的全部间断点是 .
3. , 已知 , .
4. 函数的既递减又下凸的区间是 .
5. .
二 （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题:
1 .
2 求函数的极值 .
3 .
4 .
5 .
6 在边长为 的正三角形的三个角上剪去长为的四边形(如右上图),然后
折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .

三 （ 满分 7 分）验证题: 用“”定义验证函数 在点连续 .
四 （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:
1 设函数在区间上连续 , 且 . 试证明 :
, 使 .
2 设函数在区间 上可导, 且导函数 在该区间上有界 .试证明
函数 在区间 上一致连续 .
3 设函数在区间上二阶可导,且 . .
试证明: , 使 .
4 试证明: 对 , 有不等式
.

（十二） 一年级《数学分析》考试题
一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：
1. 设在上连续，与分别是的最大值和最小值，则对于任何数，均存在，使得。（ ）
2. 设在内可导，且，则。 （ ）
3. 设的极限存在，的极限不存在，则的极限未必不存在。 （ ）
4. 如是函数的一个极点，则。 （ ）
二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分）
三 证明： 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分）
四 计算下列极限：（9分）
1 ；
2 ；
3 ；
五 计算下列偏导数：（10分）
（1）；
（2）；
六（10分）计算下列函数 的Jacobian ：
（1）；
（2）；
七 （10分）设隐函数 由方程
定义，求 及 。
八（11分）在椭球
内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？
九、（10分）求椭球面
过其上的点 处的切平面的方程。
十、（10分）设函数是定义在平面开区域内的两个函数，在内均有连续的一阶偏导数，且在内任意点处，均有
又设有界闭，试证：在 中满足方程组的点至多有有限个。

（十三）一年级《数学分析》考试题
一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：
1设在上连续，与分别是的最大值和最小值，则对于任何数，均存在，使得。 （ ）
5. 设在内可导，且，则。 （ ）
6. 设的极限存在，的极限不存在，则的极限未必不存在。 （ ）
7. 如是函数的一个极点，则。 （ ）
8. 存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。 （ ）
9. 对于函数，由于不存在，根据洛必达法制，当x趋于无穷大时，的极限不存在。 （ ）

二 计算下列极限：（18分）
1
2 ；
3 ；
4 ；
5 ；
6 。
三 计算下列函数的导数：（20分）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）设二次可导，求。
四 计算不定积分（12分）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
五 （8分）求函数在处的5次Taylor多项式：
六 （8分）用Lagrange中值定理证明：如果函数在可微，并且，则。
七 （8分）证明：若函数在上连续，且（有限数），则在上一致连续。
八 （8分）求母线为的圆锥之最大体积。