高三艺术班数学一轮复习资料函数模型及其应用.doc
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1、第二章函数、导数及其应用第9讲 函数模型及其应用一、必记2个知识点1 几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a,b为常数,a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)指数函数模型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)幂函数模型f(x)axnb(a,b,n为常数,a0,n0)2三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大,图像与y轴接近平行随x值增大,
2、图像与x轴接近平行随n值变化而不同二、必明2个易误区1易忽视实际问题的自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域2注意问题反馈在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性三、必会1个方法解决实际应用问题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下:考点一一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元一个月
3、的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差()A10元B20元 C30元 D.元解析:选A依题意可设sA(t)20kt,sB(t)mt,又sA(100)sB(100),100k20100m,得km0.2,于是sA(150)sB(150)20150k150m20150(0.2)10,即两种方式电话费相差10元,选A.2(2013北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出售时,能卖出400个若该商品每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚取最大的利润,售价应定为每个()A115元 B105元 C95元 D85元解析:选C设售价
4、定为(90x)元,卖出商品后获得利润为:y(90x80)(40020x)20(10x)(20x)20(x210x200)20(x210x200)20,当x5时,y取得最大值,即售价应定为:90595(元),选C.3为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:yx2200x80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家
5、至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解:设该单位每月获利为S,则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000,因为400x600,所以当x400时,S有最大值40 000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题考点二分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下,大桥上的
6、车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时)(1)由题意:当0x20时,v(x)60;当20x200时,设v(x)axb.由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可
7、得f(x)当0x20时,f(x)为增函数,故当x20时,其最大值为60201 200;当20x200时,f(x)x(200x)2.当且仅当x200x,即x100时,等号成立所以当x100时,f(x)在区间(20,200上取得最大值综上,当x100时,f(x)在区间上取得最大值f(x)max3 333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重
8、不漏(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整,结果40天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示,其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系,图是每件样品的销售利润与上市时间的关系(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系;(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元?若有,请说明是上市后的第几天;若没有,请说明理由解:(1)图是两条线段,由
9、一次函数及待定系数法,得f(t)图是一个二次函数的部分图像,故g(t)t26t(0t40)(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为F(t)当0t20时,F(t)3tt324t2,F(t)t248tt0,F(t)在上是增函数,F(t)在此区间上的最大值为F(20)6 0006 300.当20t30时,F(t)60.由F(t)6 300,得3t2160t2 1000,解得t(舍去)或t30.当30t40时,F(t)60.由F(t)在 (30,40上是减函数,得F(t)F(30)6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰
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