概率论基本公式.docx
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1、概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、 A B = A = A AB; A B = A (B A) 2、对偶率: A B = A B;A B = A B .3 、概率性率:P (A B) = P (A) P(AB ), 特别, B 仁 A时有:P (A B) = P (A) P (B ); P (A) P (B )4、古典概型5、条件概率例:有三个罐子, 1 号装有 2 红 1 黑共 3 个球, 2 号装有 3 红 1 黑 4 个球, 3 号装有 2 红 2 黑 4 个球,某人随 机从其中一罐,再从该罐中任取一个球,(1)求取得红球的概率;(2)如果取得是红球,那么是从第一个罐
2、中取出的概率为多少?解:(1)设B = 球取自i号罐, i = 1,2,3。 A = 取得是红球,由题知B、 B、 B 是一个完备事件i 1 2 3由全概率公式P(B) = P(A )P(B | A ),依题意,有:i ii1P(B ) = P(B ) = P(B ) = ,:P(A) 0.639.1 2 3 32 3 1P(A | B ) = ; P(A | B ) = ; P(A | B ) = .1 3 2 4 3 2(2)由贝叶斯公式: P(B | A) = 0.348.1 P(A)6、独立事件(1) P(AB)=P(A)P(B),则称 A、 B 独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有
3、两种可能结果:事件 A 发生或事件 A 不发生,则称为伯努利试验,即:P(A)=p,P( ) = 1 p = q (0p1,p+q=1)相同条件独立重复 n 次,称之为n 重伯努利试验,简称伯努利概型。伯努利定理: b(k;n,p) = n(Ck)pk (1 p)nk (k=0,1,2)事件 A 首次发生概率为: p(1 p)k1例:设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当 A 发生不少于 3 次时,指示灯发出信号,(1)进行 5 次 重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行了 7 次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。第二章7、常用离散型分布(1)两点分布:若一个随机变量
4、 X 只有两个可能的取值,且其分布为:1 2 1 2PX = x = p;PX = x = 1 p (0p0 ) 都 是 常 数 。 分 布 函 数 为 :F(x) = 2(1)装 j _w(x)e(t_山)2_2装2dt,_wx+w.。当 山 = 0,装 = 1时,称为标准正态分布,概率密度函数为:2 2 _wQ (x) = 1 e_ 2(x2) , 分布函数为: C(x) = 1 j x e_ 2(t2)dt.定理:设 X N(山,装 2),则Y = X _ 山装 N(0,1)其期望 E(X)= ,D(X)= 装 2。9、随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数分布一般方法:先根据自变量
5、 X 的所有可能取值确定因变量 Y 的所有可能值,然后通过 Y 的每一个可能的取值 y (i=1,2,)来确定 Y 的概率分布。i(2)连续型随机变量函数分布方法:设已知 X 的分布函数F (x) 或者概率密度 f (x) ,则随机变量 Y=g(X)X XY Y y的 分 布 函 数 F (y) = PY 共 y = Pg(X ) 共 y = PX = C , 其 中 C = x | g(x) 共 y ,FY (y) = PX = CY = j fX (x)dx ,进而可通过 Y 的分布函数F (y) ,求出 Y 的密度函数。yC Y例 : 设 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 fX
6、 (x) = l 0, 其他 , 求 随 机 变 量(1_ | x |,_1 x 1Y = X 2 + 1的分布函数和密度函数。解:设F (y)和f (y)分别是随机变量Y的分布函数和概率密度函数,则由 _ 1 x 1得:Y Y1 y 2, 那么当y 1时F (y) = PY 共 y = PX 2 + 1 共 y = P(0 ) = 0, 当1 y 2时, F (y) = PY 共 y = PX 2 + 1 共 y = j1 0dx +Y0 -w1( 0, y 共 1j1 (1_ | x |)dx + j+w0dx = 1, 所以, FY (y) = |2 y _ 1 _ (y _ 1),1
7、y 21 _ 1,1 共 y 2fX (x) = FY (y) = | |l(y _ 10, 其他0、设随机变量 XN(山,装 2 ) ,Y= aX + b 也服从正态分布. 即 Y = aX + b N (a山 + b, (a装 )2 )。11、联合概率分布(1)离散型联合分布: xx P = 1iji jX Yy 1 y j PX= xi p11PY= y p1j1j(2)连续型随机变量函数的分布:(| 1 (x + y),0 不 x 不 2,0 不 y 不 2例:设随机变量(X, Y)的密度函数 f (x, y) = |l0(8), 其他求 f (x), f (y),E(X ), E(Y
8、),cov( X , Y), p , D(X+Y).XY解:当 0x2 时由 f (x) = j x 1/ 8(x + y) dy ,得: f (x) = 1/8x 2 + 1/ 4x ,当 x2 时,由X X0f (x) = j0 0dy + jw 0dy = 0 ,所以,-w 2Xf ( y ) = 1/8y 2 + 1 / 4 y , 0 不 y 不 2同理可求得: Y 0,其他 ; E(X)=j2 xf (x) dx = 7/6 , 由对称性同理可求得, E(Y)=7/6。 X0因为 E(XY)= j2 j2 xyf (x, y)dxdy = j2 j2 1/8xy(x + y)dxd
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