位移变分方程.ppt
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1、55位移变分方程 在位移位移变变分法分法中,所取泛函为总势能 ,其宗量为位移状位移状态态数数 ,。现在来导出位移位移变变分方程分方程。1.用位移表示的平衡微分方程(在A中)用位移表示的应力边界条件(在上)位移边界条件(在上)。实际位移(a)其中、属于静力平衡条件,属于约束条件。对于实际位移,可将看成是必要条件,而、是充分条件。1.实际平衡状平衡状态的位移的位移、,必,必须满足足2.2.虚位移状虚位移状态态 虚位移(数学上称为位移变分),表示在约束条件允许下,平衡状态附近的微小位移增量,如图所示。虚位移应满足 上的约束边界条件,即虚位移(b)(在上)。3.虚位移不是实际外力作用下发生的,而是假想
2、由其他干扰产生的。因此,虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。(c)虚位移4.微分微分是在同一状态下,研究由于位置 (坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y;而因变量为函数,如位移,有 (d)变分与微分的比分与微分的比较变分与微分5.变变分分是在同一点位置上,由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数,如位移;而因变量为泛函,如 ,有 变分与微分(e)6.由于微分和变分都是微量,所以a.它们的运算方式相同运算方式相同,如式(d),(e);b.变分和微分可以交分和微分可以交换次序次序,如变分与微分(f)7.当发生虚位移虚位移(位移变分)时,虚位移上功和能
3、由于虚位移引起虚虚应变,外力外力势能的能的变分分:外力的虚功外力的虚功(外力功的变分):3.在虚位移上在虚位移上弹性体的功和能性体的功和能 8.形形变势变势能的能的变变分分,即实际应力在虚应变上的虚功,由于实际应力在虚应变之前已存在,作为常力计算,故无 系数。虚位移上功和能(j)9.(1)在封闭系统中,假设没有非机械能的改变,也没有动能的改变,则按照能量守恒定律,在虚位移在虚位移过程中形程中形变势能的增加能的增加应等于外力等于外力势能的减少能的减少(即等于外力所做的虚功)。位移变分方程4.弹性力学中位移性力学中位移变分方程的分方程的导出出10.(2)位移位移变分方程分方程 将式(g)的 代入上
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