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从测量金字塔高度得到的
湖北省钟祥市第五中学 孙红强
“相似三角形应用举例”中测量金字塔的高度例子是对我们动手、动脑、观察、思考、归纳等能力的考查。这就需要我们借助学习的知识和方法进行组合，准确的获得解决问题的多样方法。下面就以教材第49页中的例3为例，来探索关于测量物体高度问题的方法。
问题：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯就是利用相似三角形的原理，来测量金字塔的高度。
探究：
M
N
Q
B
P
图1
1．建立模型：这是一个实际测量问题，要将问题中的实际事物转化为几何图形进行研究，所以要进行建模。把金字塔看成一个四棱锥B—MNPQ，如图1，测量金字塔的高就变成求四棱锥B—MNPQ的高。

2．泰勒斯的方法：
图2
如图2，他在金字塔的影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形。如果木杆EF的长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度。

对于泰勒斯的方法在求金字塔的高度时，具体过程如下。
分析：由于太阳光线是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF，又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF，∴＝，∴BO＝201×2÷3＝134m。
因此金字塔的高为134米。
反思：由于点O是金字塔底座正方形的中心，实际测量时是不可能到达的，怎样测量OA的长度呢？（教材第49页的云朵中的话）
M
N
Q
P
O
B
D
C
A
图3
E
H
实际上，我们可以构造平行四边形把OA移到可以直接测量的地方。

如图3，以点N为A顶点，以NP为角的一边，作∠PNH＝135°（则∠MNH＝135°），再分别过点N、A作NC∥AD、AC∥NH的平行线，两线交于点C，则四边形ONCA是平行四边形，所以OA＝NC，测量NC即可得到OA的长度。
3．其他方法研究：
（1）等腰直角三角形相似法：
如图4，我们可以选取一个特殊的时刻，把一根标杆CD垂直放在地上，当影子DF与等于CD长度时，这样一个等腰直角△CDF。根据相似三角形的性质，所有等腰三角形都是相似的。此时，利用上面测量OA的长的方法测量出OA的长，可以得到OB＝OA，也就得到金字塔的高度。
F
D
C
图4
M
N
Q
B
P
A
O
E

（2）斜放标杆法：
如图5，（1）取PN的中点A，连接OA、AB，则BO⊥OA，AB⊥PN，且OA＝MN。在侧面BPN上放一根可测量长度的木杆CD（如2米），让CD与底边PN垂直，因此△NCD∽△NBA，所以＝。通过测量出ND，NA的长就可以得到AB的长，在Rt△OAB中，利用勾股定理就可求出金字塔的高度OB。
M
N
Q
B
P
A
C
O
D
图6
E
C
M
N
Q
B
P
A
C
O
D
图5

（3）平面镜反射法：
如图6，在PN的垂直平分线AD上的某处C放置一面镜子，人沿着AC方向后退，通过镜子观察金字塔的塔尖，当恰好从镜子中看到塔尖时，停下来，人的站立位置是DE，则有△CDE∽△COB，测量DE、CD的长，利用泰勒斯方法中测量OA的方法可以测量图6中的OC的长度，根据＝，可求出金字塔的高度OB。
（4）一根标杆构造相似法：
如图7，在金字塔的底座边PN的垂直平分线AE上选择一个点C，竖立一根标杆CD，沿CA方向后退，直到从A处看到标杆的顶端D与金字塔的顶端B在一条直线上时，可以测量出CD的长度，CA的长度，利用前面测量OA长度的方法得到OA的长度，由△ACD∽△AOB，得＝，于是OB可以求出。
M
N
Q
B
P
A
O
D
图7
C
E

（5）两根标杆构造两组相似三角形法：
如图8，在金字塔的底座边PN的垂直平分线AE上选择一个点C，竖立一根标杆CD（长为a），沿CA方向后退，直到从A处看到标杆的顶端D与金字塔的顶端B在一条直线上时，测量出AC的长度m。在CA所在直线上确定一点E，再竖立一根同样长的标杆EF，直线CA上找出一点H，从H处看到标杆的顶端F与金字塔的顶端B在一条直线上，测量出EH的长度为n，AE的长度为b。由于△ACD∽△AOB，得到＝，即＝＝①；由△HEF∽△HOB，得到＝＝，即＝②，由①和②组合为关于位置数OC、OB的方程组，解得到OB的值。
M
N
Q
B
P
A
O
D
图8
C
F
E
H
E

经过上面对教材一个例题的研究与拓展探索，我们要发现解决问题的方法的多样性，而解决问题的多种方法正是由于我们对知识的综合应用的结果。所以，在学习教材时要细致观察、认真思考、合理探索、及时归纳、拓展应用，在对教材问题的研究中，经历发现数学问题，建立几何模型，研究几何图形，解决实际问题，经历了“情境——建模——解模——验模——拓展”的学习过程。关于测量物体高度的中考问题是比较多的，同学们可以借助上面的方法以及你自己的思考，找出几个中考试题进行演练。