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第4章 真空中的静电场
4－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。

q
R
y
解：建立如图所示的直角坐标系o-xy，在半环上任取dl=Rdq的线元，其上所带的电荷为dq=lRdq，dq在O点产生的电场强度为
, 由对称分析得 Ey=0。

q
x
dq
其中，则

如图，方向沿x轴正向。
4－8 求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。
解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性。则可应用高斯定理求解。在带电球内部与外部区域分别作半径为r的同心球面S1与S2为高斯面，则
（1）
r
0
R
习题7－18图

得
(2)

4－9 如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。
解:带电平板均匀带电，产生的电场具有面对称性，因而可以应用高斯定理求解。作一柱形高斯面，其侧面与板面垂直；两底面s和板面平行,且到板中心平面的距离相等，用x表示。
(1) 平板内（）

得 ，方向垂直板面向外。
（2）平板外 （）

，方向垂直板面向外。
4－16 两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？
解 1、(1) 先应用高斯定理求各区域的电场强度
(a)

(b)

(c)

（2）求各区域的电势
(a)

o
Q1
Q2
R1
R2
习题7－16图
得
(b)

得
(c)

得
2、两球面间的电势差为

4－17 一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。
习题7－10图
r
o
解： 据高斯定理有
时：

时，V=0，则
时：

R
r
o
V
时：

空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。

第5章 静电场中的导体和电介质

5－1 点电荷+q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为Rl和R2，试求，电场强度和电势的分布。
解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q电荷
1、利用高斯定理和静电平衡条件可得：
R2
R1
习题 8－1图
q
-q
q
（r<R1）；
（R1<r<R2）
（r>R2）
2、利用电势的定义式可求得：

5－4 三个平行金属板A、B和C，面积都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。如果A板带正电3.0×10－7C，略去边缘效应（1）求B板和C板上感应电荷各为多少?（2）以地为电势零点，求A板的电势。
A
B
C
习题 8－4图
d1
d2
解：（1）设A板两侧的电荷为q1、q2，由电荷守恒
原理和静电平衡条件，有
（1）
，（2）
依题意VAB=VAC,即
＝代入（1）（2）式得
q1＝1.0×10-7C，q2＝2.0×10-7C，qB＝－1.0×10-7C，qC=-q2＝－2.0×10-7C，
（2）＝=2.3×103V
5－10 半径都为a的两根平行长直导线相距为d（d>>a），（1）设两直导线每单位长度上分别带电十l和一l，求两直导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电容。
解：（1）两直导线的电电场强度大小为
x
0
p
l
-l

两直导线之间的电势差为

（2）求此导线组每单位长度的电容为
=
5－11 如图，C1=10mF，C2=5mF，C3=5mF，求（1）AB间的电容；（2）在AB间加上100V电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（3）如果C1被击穿，问C3上的电荷量和电压各是多少？
解：（1）AB间的电容为
=3.75mF；
（2）在AB间加上100V电压时，电路中的总电量就是C3电容器上的电荷量，为
A
B
C1
C3
C2
习题 8－11图

（3）如果C1被击穿，C2短路，AB间的100V电压全加在C3上，即V3=100V，
C3上的电荷量为

第6章 恒定电流

6－2 在半径分别为R1和R2（R1< R2）的两个同心金属球壳中间，充满电阻率为r的均匀的导电物质，若保持两球壳间的电势差恒定为V，求（1）球壳间导电物质的电阻；（2）两球壳间的电流；（3）两球壳间离球心距离为r处的场强。
解：（1）球面间任一薄层的电阻为：
整个球壳间导电物质的电阻为：
（2）
（3）

由

6－13 在如图所示的电路中，E1＝3.0V，r1=0.5W，E2＝1.0V，r2=1.0W，R1=4.5.W，R2=19W，R3=10.0W，R4=5.0W，试求电路中的电流分布。

R2
R3
E2,r2
E1,r1
R1
习题6－13
R4
I1
I3
I2
解：设各电流如图

解得与图中所示方向相反

6－15 在如图所示的电路中E1＝6.0V，E2=2.0V，R1=1.0.W，R2=2.0W，R3=3.0.W，R4=4.0W，试求（1）通过各电阻的电流；（2）A、B两点间的电势差。
E2
R1
R4
A
B
R3
E1
R2
习题6－15
解：

,

第7章 稳恒磁场
7－2一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，圆弧半径R=3cm，导线中的电流I=2A， 如图所示，求圆弧中心O点的磁感应强度。
I
O
R
习题 7－2图
解：两半无限长电流在O点产生的磁感应强度大小相同，
方向相同，叠加为

3/4圆电流在O点产生的磁感应强度为

则圆弧中心O点的合磁感应强度为

习题 7－7图
I1
l2
I2
7－7如图所示，两根导线沿半径方向引到铜圆环上A、B两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求圆环中心处的磁感应强度。
解：O点处在两直线电流的延长线上，，
l1
故两直电流在O处产生的磁感应强度为0。
I1与I2为并联电流，其在O处产生的磁感应强度分别为：

因为并联电流电压相同有：，所以
7－9一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如
图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电
流I，试求（1）环内离轴线为r处的磁感应强度；
（2）通过螺线管截面的磁通量。

解：（1）环形螺线管内的磁场具有对称性，可根据安培环路定理求解。
在环形螺线管内作一半径为的圆形回路,则有：

（2）环内离轴线为r处取一宽度为，高为的矩形面积元，则通过面积元的磁通量为
=
7－10一对同轴的无限长空心导体直圆筒，内、外筒半径分别为R1和R2（筒壁厚度可以忽略），电流I沿内筒流出去，沿外筒流回，如图所示。（1）计算两圆筒间的磁感应强度。（2）求通过长度为l的一段截面（图中画斜线部分）的磁通量。

解：（1）电流分布具有对称性，因此两圆筒间的磁感应强度也具有对称性，利用安培环路定理求解磁场强度。
在两圆筒间作一半径为的圆形回路,则有：

（2）在两圆筒间离轴线为r处取一宽度为，长为的矩形面积元，则通过面积元的磁通量为
=
7－24 有一同轴电缆，其尺寸如图所示。两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3）R2<r<R3（4）r>R3；面出B－r曲线。

习题 7－24图

解：由安培环路定理

作一半径为的圆形回路，则有：
（1）
（2）
（3）

（4）

第九章 电磁感应
9－1在通有电流I=5A的长直导线近旁有一导线ab，长l=20cm，离长直导线距离d=10cm（如图）。当它沿平行于长直导线的方向以v=10m/s速率平移时，导线中的感应电动势多大？a、b哪端的电势高？
解：建立如图所示的坐标系ox, 在导线ab上任取一线元，方向为，
则两端的动生电动势为，
d
l
a
b
v
I

x
o
则ab棒两端的电动势

E

方向沿x轴负向，即，a端电势高。
9－3如图所示，长直导线中通有电流I=5A时，另一矩形线圈共1.0×103匝，a=10cm，长L=20cm，以v=2m/s的速率向右平动，求当d=10cm时线圈中的感应电动势。
d
a
L
I
v

解：设线圈运动到某个时刻左端距离长直导线的距离为x, 顺时针方向为线圈回路的绕行方向，则通过线圈回路的磁通量为

根据法拉第电磁感应定律，
电动势为

Ex=d=0.1=
方向为顺时针方向。
9－4若上题中线圈不动，而长导线中，通有交流电i=5sin100pt A，线圈内的感生电动势将多大？
解：
电动势为

9－10均匀磁场B(t)被限制在半径为R的圆柱形空间，磁场对时间的变化率为dB/dt，在与磁场垂直的平面内有一正三角形回路aob，位置如图所示，试求回路中的感应电动势的大小。
解：回路中的感应电动势的大小为
E