一元二次方程解的估计.doc

第六届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评选活动参评教案

一元二次方程解的估计
授课教师 李晓云
（山东省济南市历城二中）

教材：青岛版九年级上册第三章第一节（2）
教学目标：
1. 知识目标：能用“观察—检验”法估计一元二次方程的解，理
解二分法。
2. 能力目标：培养估计的意识与能力，发展数感，增强类比和概
括的能力。
3. 情感目标：体会数学学习的价值，感受估计在生活中的应用，
树立积极参与、勇于探索的科学态度。
教学重点：估计一元二次方程解的方法和步骤，以及用二分法缩
小估计范围的方法。
教学难点：确定估计方程解的初始范围。
教学过程：
一、创设情境
数学来源于生产和人们的社会生活，又是生产和生活的工具。生
活中的许多问题，如果从数学的角度进行分析研究，常常会找到好的解决方法。
出示图片：
这还不简单，
x2+(x+7)2=112
x2+7x=36
? ? ?怎么求呢？
要加工一个斜边为11cm，两直角边差为7cm的直角三角形模具，两条直边的长度应当分别是多少厘米？

不用这么麻烦，图纸上不是说，只要直角边的长度能准确到十分位就可以了。

哦，那我就知道x的值能是多少啦。

提问：
（1） 观察图片中的对话，你能用简洁的语言描述其中的数学问题吗？
（2） 你知道刚开始时，工人乙想用什么方法来确定直角边的长？
（3）当他明确模具对直角边的要求后，会改用什么方法来确定x的值呢？（估计的方法，这也说明在生活中很多情况下并不需要准确的数据，因此估计在生产和生活中具有广泛的应用。）
（4） 你能像工人乙那样估计出x值吗？你是怎么估计的？
（5） 如果图纸要求精确到百分位、千分位、万分位……，你将怎样估计呢？
在学生体会到探究估计方法的必要性后，教师引出课题：今天，我们就来探究估计一元二次方程解的方法。

二、合作探究
1. 运用“观察—检验”法进行估计
问题：回忆刚才估计x的过程，你能试着概括出估计方程解的方
法和步骤吗？（学生分组交流讨论，总结出“选—检—比—再选—检—比…”的“观察—检验”法，即选一个数代入方程，检验是否为方程的解。若不是，则与36比较大小，得出下次估计的方向，然后再在其中选一个数代入方程检验，再比较大小…，）。
→ ←
x

选 0

8 选

X2+7x

检 0

140 检

与36比较

比 <36

>36 比

提问：
（1） 在“观察—检验”的三个步骤中，哪一个步骤是决定估计
快慢的关键？（选数）
（2） 应当怎样选择一个数？选择的标准是什么？
教师引导学生观察自己的每一次选择的数，从而发现不断地选数就是在不断地缩小估测的范围。教师进一步引导学生思考：最初估计的大致范围是怎样得到的？选怎样的数可有效地缩小估计的范围？现在我们就来探究这两个问题。
2. 探究估计的大致范围
让学生观察自己最初的估计范围a<x<b，并思考下面的问题：
（1）选择的这两个数值a，b与36有怎样的关系，才能保证x在它们之间？（一个值使x2+7x >36，另一个值使x2+7x＜36）
你能仿此得出方程x2+7x=6一个解的大致范围吗？
（2）x表示的是直角三角形的边长，如果从这个角度来考虑，你
是否还有其它确定x大致范围的方法？（根据x的实际意义）
通过自主探究，得到两种确定x大致范围的方法，学生可有选择的使用。
3. 运用“二分法”缩小估计的范围
问题：如果让我们在0＜x＜11范围内来继续选数进行估计，你会
选择什么数呢？你的理由是什么？
通过探讨学生发现：当不能确定方程的解更接近范围的那一端的值时，可以取这个的中间值进行估计。教师指出：这样可以使估计的范围缩小一半，这种方法叫做“二分法”。
4. 总结估计一元二次方程的解的步骤
问题：同学们，你能运用“观察－检验”法和二分法估计方程x2+7x=36中的解吗？总结一下估计的步骤。
（ 步骤：（1）估计一个大致范围；（2）取中间值（或靠近一端的值）缩小范围，直到确定出个位上的数字；（3）继续取值缩小范围，确定十分位上的数字；（4）继续缩小范围，确定百分位上的数字…需要注意，当不给精确度的要求时，估计还可以进行下去。）
三、巩固拓展
如果不考虑方程x2+7x=36的实际意义，这个方程是否还有一个负
根存在？你能求出这个负根吗（要求误差小于0.1）？（巩固估计方
法和步骤，对一元二次方程的两个根形成完整的认识）

四、实践应用

借助于李咏的节目，做一个猜价格的游戏。规则：出示一个多功能削笔器，请同学们根据教师对价格高或低的提示，估计出商品的价格。
五、小结与反思
学了这节课后，你有哪些收获和体会？（让学生尽量围绕以下问题进行总结：估计一元二次方程解的方法？估计的步骤？二分法的意义？估计的应用？）
六、布置作业
（1）课后练习：1、2
（2）对上一节课遇到的另一个实际问题进行估计：某足球场的面积为7140m2，周长为346m，求该足球场的长和宽（精确到0.1）。