微分论文.doc

精品资料
浅谈微分中值定理中值点的确定及渐进性

吴 伟
(吉首大学数学与统计学院 ，湖南吉首，416000)

摘 要：本文主要讨论了微分中值定理中值点能被确定的几种函数类型，并通过拉格朗日中值定理、泰勒定理、法则，得到了初等函数的关于中值点的一些具体性质。另外本文还讨论了一些复合函数及其他函数类型的微分中值定理中值点确定及渐进性。

关键词：微分中值定理中值点；泰勒定理；拉格朗日中值定理；法则；渐进性

Discussion On Differential Mean Value Theorem Value Point and Progressive
Wu Wei
(College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou Hunan 416000）)

Abstract：This paper mainly discusses The Theory Of Differential Mean Value Theorem value pointcan be defined in several function types,and through the Lagrange’s mean theory, Taylor’s Theory, principle, getting the elementary function on some specific property of mean value point.We also discusses some composite function and other fuction types of differential mean value pointtheorem and progressive.

Key words：Differential mean value theorem；Taylor’s Theory；Lagrange’s mean theory； principle；Progressive

一、引言：
微分中值定理是数学分析最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上的整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。微分中值定理作为微分学的基本定理，在研究函数的性质方面起着重要的作用，参考文献[1]，微分中值定理只肯定了中值点的存在性，而中值点的位置没有已有的定理给以解决，但它亦越来越被重视并被研究。本文总结了已有的一些结论，探讨了微分中值定理中值点的确定几种函数类型，并结合实例讨论了初等函数的关于中值点的确定问题，并在一些问题中进行了推广。另外本文还讨论了一些复合函数以及其他类型函数的微分中值定理中值点的确定及渐进性。

二、预备定理：
1、泰勒定理[1]：若函数在上存在直至n阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的,,至少存在一点，使得
2、拉格朗日中值定理[1]：若函数满足以下条件：
在闭区间上连续；
在开区间内可导，
则在内至少存在一点，使得
注：拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：
（1） ；
（2） .
(1)、（2）两式的特点，在于把中值点表示成了，使得不论为何值时，总可为小于1的某一正数。

3、 法则[1]： 设函数和在点的某邻域内（点除外）可导，且，并有 。如果极限存在（有限或无限），则

三、初等函数对应的微分中值定理中值点的确定
初等函数满足拉格朗日中值定理条件及的函数，其中 .若是定值，就可以确定微分中值定理的中值点的位置。

引理1. 对任意的幂函数(n>0), ，其中.若满足
，其中，
则
证明：对求导得：
由题意可知：
两边同除以，得
两边开n-1次方，得
易得
证毕

例1. 设，其中，其中.试求满足
，（其中且）时的值.

解： 是幂函数，且中的满足定理1的条件，可得

推论1.对任意的幂函数(n<0), ，其中 若满足
，其中，
证明：对求导得：
由题意可知：
两边同除以，得
两边开n-1次方，得
因为 则

证毕
例2.设，其中， 其中，试求满足
，（其中且）时的值。
解：是幂函数，且中的满足
推论1的条件，带入上述公式，可得

引理2.对任意的指数函数，，其中.若满足
，其中，
则 .
证明：对的求导得
由题意可知：
两边同除以，得
两边同除以，得
易得
两边同除以,得
证毕
例3.设，，试求满足
，（其中且）时的值.
解：是指数函数，且中的满足定理2的条件， 可得

引理3.对任意的对数函数，，.其中，
若满足.其中，
则 .
证明：对求导得
由题意可得：
易得
两边减后除以，得 .
证毕

例4．设，，其中，试求满足
，（且）时的值.
解：是对数函数，且中的满足定 理3的条件，可得

引理4. 对任意三角函数，， 若满足
，其中，
则 .
证明：（1）对求导得
由题意可得
两边同除以，得
对的求反函数，得
易得
证毕
例5．设，，试求满足
，（其中且）时的值.
解：是三角函数，且中的满足
定理4的条件， 可得

小结：对于三角函数这一类函数，若满足，且，也同理可以确定的位置.

引理5. 对任意反三角函数函数, .其中且
. 若满足 ,其中，
则 .
解： 对求导，得 ,
根据题意可得
易得

两边减后除以，得
其中正负号的取法由及和符号及条件决定.
例如：当时，根号前应取正号.

例6. 验证拉格朗日定理对于函数在区间上的正确性.
解：只需找到，使得成立，
即在中找出一点.使得
, 解得
易得
因此取就符合拉格朗日定理的条件.

小结：对于反三角函数这一类函数，若满足，且，也同理可以确定的位置.

总结：引理1，推论1到引理5，总结归纳出了对于初等函数所对应的微分中值定理中值点的确定。我们可以确定满足的函数，其中 .若是定值，就可以确定微分中值定理的中值点的位置.

四、复合函数对应的微分中值定理中值点的确定及渐进性
讨论复合函数对应的微分中值定理中值点，相对于初等函数来说，复杂的多，当复合函数满足一定条件时，可以确定微分中值定理的中值点的位置，但大多数复合函数不能确定，只能研究中值点的渐进性。
例7 设二次函数，试求满足
的函数.
解:

又有
因为 则等式两边除以b-a
得
则
例8．证明： 若，则（1），其中 ；
（2）
证 ： （1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，存在，使

由上式可得

于是
（2）

例9.设函数，由拉格朗日中值定理，存在使得 ，即
证明：
证 ： 对求导可得：
对任意，函数在以与0为端点的区间上满足拉格朗日中值定理的条件，存在，使
易得
根据L-Hospital法则，可得：

小结：对于大多数复合函数来说，在研究其微分中值定理中值点的确定时,易求出具体的位置，只能研究中值点的渐近性。

五、其它类型函数对应的微分中值定理中值点的渐近性
例10. 若函数f在点二阶可导，且.对于拉格朗日中值公式，
， 中的有
证：由带佩亚诺余项的泰勒公式可得
（1）
（2）
由（1）（2）可得到 ，
由于.故上式得到
即

例10的推广
设,函数在内具有n+2阶连续导数，且，在内的泰勒公式为：

则有：
证明：由在内具有n+2阶连续导数及拉格朗日中值定理，有

所以
又由泰勒公式得

因此有
即
有题意知连续，且，故

即得

例11 .设函数满足以下条件
（1）在内是阶连续可微函数；此处；
（2）当时，有但是；
（3）当时，有， （*）
其中.
证明：
证 ： 我们要设法从（*）式中解出，为此我们将（*）式左边的及右端的在处展开。注意条件（2），知使得

于是（*）式变成
，
从而 .
因，，，利用的连续性，由此可得

例12 设函数在点a的某邻域内有直到n+p阶导数，且在a点连续，，当时拉格朗日中值定理 （1）
则有

证明： 由于在点a存在n+p阶导数，且
，
故在点a可展成带拉格朗日型余项的Taylor展开，即

= （2）
其中 ，另一方面，把在点a展开Taylor展式

= (3)
把（3）代入（1） 得
(4)
比较（2）与（4）

所以
两边取极限 并注意到 在点a连续，得

所以

结语：引理1，推论1至引理5，总结归纳出了对于初等函数所对应的微分中值定理中值点的确定问题，并结合了一些实例讨论了初等函数的关于中值点的位置.由于水平有限，只指出了部分复合函数所对应的微分中值点的确定问题，并讨论了其中值点的渐近性质以及部分其它类型的函数所对应的微分中值定理中值点的渐近性质。本文主要通过拉格朗日中值定理讨论微分中值定理中值点的确定及渐进性，但其应该还可以从柯西中值定理推出相应不同的结论，不过研究起来，相对来说，要比本文讨论的复杂的多。鉴于能力、水平有限，对于用柯西中值定理来研究微分中值定理中值点的确定及渐进性，这里就概不论述。

六、参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社，2002，120-159
[2]吴良森.数学分析习题精解[M].北京:科学出版社，2001，106-128
[3]吉米多维奇.数学分析习题集题解[M]山东科学技术出版社，2001，238-240
[4]裘兆泰，王承国，章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社，2001，131-146
[5]李克典，马云苓.数学分析选讲[M].厦门大学出版社，2005，191-195
[6]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2006，251-302
[7]赵显曾，黄安才.数学分析的方法与题解[M].陕西师范大学出版社2005，169-216
[8]华东师范大学数学系.数学分析习题详解（上）[M].华中科技大学出版社，2005，175-196
[9]白玉兰，彭树森，陆子采.数学分析题解（二）[M].黑龙江科学技术出版社1984,135-145
[10]邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉大学出版社，2000，76-88

七、致 谢：
论文在选题和组织材料上得到了张勇老师的循循指导。老师认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我受益匪浅。在此表示真诚的谢意！

可编辑修改