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同步讲台 第4课 充要条件

● 考点搜索
1.能判断真假的语句叫做命题，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式有三种，分别表示为p或q,p且q,非p.
2.填写真值表
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
p且q
（真）
（假）
（假）
（假）
p或q
（真）
（真）
（真）
（假）
非p
（假）
（假）
（真）
（真）

3.设原命题的形式为:若p则q,则其逆命题形式为若q则p;否命题形式为若p则q,逆否命题形式为若q则p.
4.p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则称p是q的充要条件.

● 实例点津
【例1】 已知P:在△ABC中,sin(A+B-C)=sin(A+C-B);q:△ABC是A为顶点的等腰三角形.说明p是q的什么条件，并证明你的结论.
【点津】 化简等式，分别考察pq,qp是否成立.
【解答】 p是q的必要不充分条件.
证明：由p知:sin(π-2C)=sin(π-2B) sin2B=sin2C取B=,C=则满足sin2B=sin2CABC不是等腰三角形，∴pq.
又由q知:△ABC是A为顶点的等腰△,故2B=2Csin(π-2B)=sin(π-2C) sin(A+B-C)=sin(A+C-B),∴qp.
综上所述知:p是q的必要不充分条件.
【归纳】 欲证pq,举“反例即可”，这叫做:“肯定结论须证明，否定结论举反例.”

【例2】求关于x的不等式ax 2-ax+1>0的解集为R的充要条件.
【点津】 依首项系数a的正、负、零而定.
【解答】当a=0时，不等式的解集为R;
当a<0时，化原不等式为x2-x+<0,其解不可能是R;
当a>0时,由.
综上所述知:原不等式的解集为R的充要条件是:0≤a<4.
【归纳】 对“寻找”出来的“充要条件”，要注意“检验”.

【例3】 已知条件p:A={x|x2-(a+1)x+a≤0},条件q:B={x|x2-3x+2≤0},当a为何值时:
①p是q的充分不必要条件
②p是q的必要不充分条件
③p是q的充要条件
【点津】 化简集合A,集合B,并注意pq与AB的等价性.
【解答】 由p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},由q:B=［1,2］.
①∵p是q的充分不必要条件,∴AB且A≠B,故A=［1,a］1≤a<2.
②∵p是q的必要不充分条件.∴BA且A≠B,故A=［1,a］且a>2a>2.
③∵p是q的充要条件,∴A=Ba=2.
【归纳】 当命题的形式是集合时，其充分条件和必要条件的判定，就是集合包含关系的判定.

【例4】 证明：f (x)=x2+2mx+1的图像与x轴正半轴至少有一个交点的必要不充分条件是:m2≥1.
【点津】 原命题等价于:关于x的方程x2+2mx+1=0至少有一个正根的必要不充分条件是:m2≥1.
【解答】 若关于x的方程x2+2mx+1=0有正实根，则Δ≥0m2≥1,故必要性成立.
∵m=1时,方程x2+2x+1=0无正根，故充分性不成立.
综上所述知:关于x的方程x2+2mx+1=0至少有一个正根的必要不充分条件是m2≥1,亦即原
命题成立.
【归纳】 “等价转化”是重要的数学思想方法.

● 对应训练
一、选择题
1.已知全集为U,M,N U,则“MN”是“M∩U N= ”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.“p且q成立”是“p或q成立的” ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设|a|·|b|≠0,则向量a∥b是向量a=b的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.非零向量a, b共线的充要条件是 ( )
A. a+b=0 B. a-b=0 C.| a|=|b| D.存在实数λ,使得a=λb
5.已知P:(x-1)(y+1)·(z+2)=0, Q:(x-1)2+(y+1)2+(z+2)2=0 (x, y, z∈R)，则P是Q成立的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.平面内一动点P到两定点A、B距离之差的绝对值为2004是“P的轨迹是双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.设条件p:关于x的方程:(1-m2)x2+2mx-1=0的两根一个小于0,一个大于1,若p是q的必要不充分条件，则条件q可设计为 ( )
A.m∈(-1,1) B.m∈(0,1) C.m∈(-1,0) D.m∈(-2,1)
8.设两直线为l1:A1x+B1 y+C1=0, l2:A2x+B2 y+C2=0,(A2B2C2≠0)，则是l1∥l2的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9.如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要非充分条件，则丁是甲的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
10.关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 ( )
A.0≤a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1或a<0
二、填空题
11.已知P:x+y≠2004;Q:x≠2000且y≠4,则P是Q的 条件.
12.实数a1, a2, a3,…a2004不全为0的充要条件是 .
13.关于x的不等式>0的解集为(-3,-1)∪(2,+∞)的充要条件是 .
14.设全集S有两个子集A,B,若由x∈SAx∈B,则x∈A是x∈SB的 条件.
三、解答题
15.求直线y=x与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点在原点两侧的充要条件.

16.已知条件p:A={x|x2+ax+1≤0},条件q:B={x|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

17.已知p:x∈Z, y∈Z,m=x2-y2,q:k∈Z,m=2k+1或m=4k.求证:p是q的充要条件.

18.设α、β是方程x2-ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是“两根都大于1的什么条件?”

● 对应答案
1.A 画图分析知:MNM∩U N= , 故MNM∩U N= ; MN.
2.A 可举反例说明B不成立.
3.B 相等必平行，平行则不一定相等.
4.D 由定义可知.
5.B 其中P:x=1或y=-1或z=-2,Q:x=1且y=-1且z=-2.
6.D 因||PA|-|PB||与2004的大小未定.
7.C 构造函数f (x)=(1-m2)x2+2mx-1, f (0)=-1,开口向上，由f (1)<0得1-m2+2m-1<0m>2或m<0.
8.C 当A2B2C2≠0时,l1∥l2.
9.A 因丁丙乙甲，故丁甲(传递性)
10.C 若Δ=0则4-4a=0,a=1满足条件，当Δ>0时,4-4a>0a<1.综合即得.
11.既不充分又不必要 “若P则Q”的逆否命题是:(x=2000或y=4)(x+y=2004),因其逆否命题不成立，故原命题不成立.
12.a21+a22+a23+…+a22004≠0(偶数次幂之和不等于0).
13.a=-2(画图即知)
14.必要
15.当且仅当原点到圆心的距离小于半径时，它们的两个交点在原点两侧.
∵圆心为,半径为由得F<0,故F<0为所求的充要条件.
16.由条件知B=［1,2］,∵AB且A≠B,或者A= , 故方程x2+ax+1=0无实根或者两根满足:1≤x1,x2≤2,当Δ<0时,a 2-4<0-2<a<2,当时,a=-2，故a的取值范围是［-2,2］.
17.证明：(1)充分性:∵m=x2-y2=(x+y)(x-y)且x∈Z,y∈Z,而(x+y)与(x-y)具有相同的奇偶性.
故当x+y与x-y都为偶数时,m是4的倍数，即存在k∈Z,使m=4k;
当(x+y)与(x-y)都为奇数时,则其乘积仍为奇数，即存在k∈Z,使m=2k+1,∴pq.
(2)必要性:当m=4k时m=(k+1)2-(k-1)2，故存在整数x=k+1, y=k-1使m=x2-y2;
当m=2k+1时,则m=(k+1)2-k2=x2-y2,∴qp.
18.由根与系数的关系得:判定的条件是p:结论是q: (Δ≥0).
(1)由α>1且β>1a=α+β>2,b=2β>1a>2且b>1故qp.
(2)取α=4,β=则满足a=α+β=4+>2,b=αβ=4×=2>1但pq.
综上所述知:“a>2且b>1”是α>1且β>1的必要不充分条件.

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