分布傅里叶PPT课件.ppt
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1、M.Zhang 超快激光器腔内动力学模型超快激光器腔内动力学模型 Dynamics,modelling and simulation of ultrafast lasers 张梦张梦BUAAM.Zhang1 傅里叶变换(复习)傅里叶变换(复习)(Fourier Transform)2 分布傅里叶法分布傅里叶法 (Split-step Fourier Method,SSFM)3 超快激光腔内数值分析方法超快激光腔内数值分析方法 (Numerical Solutions of ultrafast lasers)BUAAM.Zhang1 傅里叶变换傅里叶变换(复习)(复习)(Fourier Tran
2、sform)BUAAM.Zhang1.1 变换域分析变换域分析(Transform-Domain Analysis)BUAAM.Zhang1.傅里叶傅里叶傅里叶是一首数学的诗,黑格尔是一首辩证法的诗。傅里叶是一首数学的诗,黑格尔是一首辩证法的诗。恩格斯恩格斯Jean Baptiste Joseph Fourier,17681830法国数学家,物理学家。法国数学家,物理学家。n热的解析理论热的解析理论:记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生,公认:记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生,公认为数学史,乃至科学史上一部划时代的经典著作。为数学史,乃至科学史上一部划时代的经典著作。n 傅里叶变换在物理学、声
3、学、光学、结构动力学、数论、组合数傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用(着广泛的应用(wikiwiki),这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到),这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的!的!BUAAM.Zhang“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点2.傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周
4、期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点BUAAM.Zhang3.时域时域 vs.变换域变换域 什么是变换?什么是变换?通过提取信号特征进行信号分析的一种工具通过提取信号特征进行信号分析的一种工具(数学工具数学工具)。简言之,一种特征简言之,一种特征 另一种特征另一种特征傅里叶变换傅里叶变换时间域时间域(时域时域)特征特征 频率域频率域(频域频域)特征特征傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦(余弦)信号组合而成。振幅、相位、频率的基本正弦(余弦)信号
5、组合而成。BUAAM.Zhang4.本章内容与重点本章内容与重点 本节的思路本节的思路傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶变换傅里叶变换 卷积定理卷积定理 抽样定理抽样定理本节的重点本节的重点v 傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换的性质与应用v 卷积定理卷积定理v 抽样定理抽样定理BUAAM.Zhang1.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 Fourier Series Representation of Periodic SignalsBUAAM.Zhang1.傅里叶级数傅里叶级数(Fourier Series)三角函数式的傅里叶级数:周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数。周期
6、信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数。复指数函数式的傅里叶级数:正交性正交性函数内积函数内积/点积点积BUAAM.Zhang2.三角函数式的傅里叶级数三角函数式的傅里叶级数周期信号周期信号 f(t),周期,周期 T1,角频率,角频率直流分量:直流分量:余弦分量幅度:余弦分量幅度:正弦分量幅度:正弦分量幅度:直流分量直流分量The DC Components基波分量基波分量(n=1)the fundamental componentsthe 1st harmonic components谐波分量谐波分量(n1)The nth harmonic components利利用用正正交交性性求求解解B
7、UAAM.Zhang3.狄利克雷条件狄利克雷条件(The Dirichlet Conditions)(1)在一个周期内只有有限个在一个周期内只有有限个间断点间断点;(2)在一个周期内只有有限个在一个周期内只有有限个极值点极值点;(3)在一个周期内绝对可积,即;在一个周期内绝对可积,即;并不是任意周期信号都能做傅里叶级数展开,并不是任意周期信号都能做傅里叶级数展开,须满足上述狄利克雷条件(一般均满足)。须满足上述狄利克雷条件(一般均满足)。BUAAM.Zhang4.周期信号的频谱周期信号的频谱(Spectrum)(Spectrum)*各分量的幅度各分量的幅度 以及相位以及相位 都是都是 的函数。
8、的函数。幅度频谱(幅度谱)幅度频谱(幅度谱)相位频谱(相位谱)相位频谱(相位谱)这种图形清晰地显示了周期信号的频域特性,这种图形清晰地显示了周期信号的频域特性,从频域角度反映了该信号携带的全部信息。从频域角度反映了该信号携带的全部信息。BUAAM.Zhang幅度谱幅度谱相位谱相位谱BUAAM.Zhang5.周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性*(1)离散性离散性(2)谐波性(整数倍)谐波性(整数倍)(3)收敛性(幅度谱)收敛性(幅度谱)一般随一般随 总是趋于零总是趋于零谱线沿频率轴呈离散分布谱线沿频率轴呈离散分布只含有基波频率整数倍的谐波成分只含有基波频率整数倍的谐波成分BUAAM.Zhang
9、6.复指数形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数n 复指数正交函数集:复指数正交函数集:n 级数形式:级数形式:n 系数:系数:(利用复指数函数的正交特性)(利用复指数函数的正交特性)(周期信号可以由复指数信号(周期信号可以由复指数信号 加权叠加而成)加权叠加而成)BUAAM.Zhang6.复指数形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数(1)(2)n周期信号可分解为周期信号可分解为 区间上的复指数信号区间上的复指数信号的线性组合。的线性组合。n如果给出如果给出 ,则,则 唯一确定;反之依然。唯一确定;反之依然。(1)和和(2)可称为一对变换对。可称为一对变换对。BUAAM.Zhang6.复指数形
10、式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数(为正整数)为正整数)欧拉欧拉公式公式BUAAM.Zhang7.Fn 与其他系数的关系与其他系数的关系仍是仍是 对应的对应的直流项不变直流项不变“幅度幅度”减半减半BUAAM.Zhang8.周期复指数信号的频谱周期复指数信号的频谱*复数幅度谱复数幅度谱复数相位谱复数相位谱关于关于 的偶函数的偶函数(实际(实际n只取正值)只取正值)关于关于 的奇函数的奇函数(实际(实际n只取正值)只取正值)关于关于 的偶函数的偶函数关于关于 的奇函数的奇函数BUAAM.Zhang复数幅度谱复数幅度谱复数相位谱复数相位谱与幅度谱相位谱比较与幅度谱相位谱比较BUAAM.Zhang
11、9.周期复指数信号的频谱特性周期复指数信号的频谱特性*(2)出现了负频率分量出现了负频率分量 F-n,没有物理意义,只是方便运算。,没有物理意义,只是方便运算。(1)cn 是实函数,是实函数,Fn 一般是复函数一般是复函数(数学变换的结果数学变换的结果)。(3)当当 Fn 是实函数时,可用是实函数时,可用 Fn 的正负表示的正负表示 0 和和相位,相位,幅度谱和相位谱合一。幅度谱和相位谱合一。bn=0f(t)是偶函数是偶函数 是实函数,分解成虚函数,必须有共轭对是实函数,分解成虚函数,必须有共轭对 和和 ,才可能保持分解过程中才可能保持分解过程中 实函数的性质不变。实函数的性质不变。只有把正负
12、频率项成对合并起来,只有把正负频率项成对合并起来,才是实际的频谱函数。才是实际的频谱函数。BUAAM.Zhang周期(偶对称)矩形脉冲信号的复数频谱周期(偶对称)矩形脉冲信号的复数频谱BUAAM.Zhang10.周期信号的功率特性周期信号的功率特性 周期信号的平均功率:周期信号的平均功率:帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理:定理:BUAAM.Zhang11.对称信号的傅里叶级数对称信号的傅里叶级数(1)(1)偶函数:偶函数:三种对称形式:三种对称形式:(2)奇函数:奇函数:(3)奇谐函数:奇谐函数:(半波对称半波对称)任意周期函数:任意周期函数:偶函数项偶函数项奇函数项奇函数项BUAAM
13、.Zhang11.对称信号的傅里叶级数对称信号的傅里叶级数(2)(1)周期偶函数周期偶函数是实数是实数周期偶函数只含直流分量和余弦分量周期偶函数只含直流分量和余弦分量(偶分量偶分量)BUAAM.Zhang例如:例如:周期三角函数是偶函数。周期三角函数是偶函数。f(t)T1/2T1/2tEBUAAM.Zhang11.对称信号的傅里叶级数对称信号的傅里叶级数(3)(2)周期奇函数周期奇函数是纯虚数是纯虚数周期奇函数只含正弦分量周期奇函数只含正弦分量(奇分量奇分量)常规意义上的奇函数没有直流分量常规意义上的奇函数没有直流分量一般意义上的奇函数可以是一般意义上的奇函数可以是“DC+常规奇函数常规奇函数
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