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专题辅导与能力提升 板块一 力学专题二 追及与相遇
专题二 追及与相遇
●高考趋势展望
运动学是动力学的基础，在每年的高考中，或者单独命题，或者渗透在动力学问题中，都要对运动学的概念和规律进行考查.追及和相遇问题是运动学中一类典型问题，解答这类问题对分析综合能力和推理判断能力有相当高的要求，通过这类问题的练习，有利于提高解决问题的能力.当然，这类问题也能较好地体现高考以“能力立意”的命题思想，所以，在高考中多次出现追及和相遇问题.
●知识要点整合
追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系，所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律.
解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据.
追及、相遇问题常常涉及到临界问题，分析临界状态，找出临界条件是解决这类问题的关键.速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件.
●精典题例解读
［例1］为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速为v=120 km/h,假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（反应时间）t=0.50 s，刹车时汽车受到的阻力大小Ff为汽车重力的0.40倍.该高速公路上汽车的间距s至少应为多少？取重力加速度g=10 m/s2.
【解析】 本题中前方车辆突然停止，后车先做匀速运动（反应时间内），后做匀减速运动，若后车速度减为零时恰好运动到前车处，这种情况对应两车行驶时的最小距离，该最小距离就是前车停止后，后车匀速运动和匀减速运动的总位移.根据牛顿第二定律求得后车刹车时的加速度大小为
a==4 m/s2
该高速公路上汽车间距至少为
s=vt+=1.6×102 m
小结：解答本题的关键是明确高速公路上汽车的最小距离是什么，还应注意汽车的运动分两段：匀速运动和减速运动.
［例2］一列货车以28.8 km/h的速度在平直铁路上运行，由于调度失误，在后面600 m处有一列快车以72 km/h的速度向它靠近.快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000 m才停止.试判断两车是否会相碰.
【解析】 两车速度相等恰追及前车，这是恰不相碰的临界情况，因此只要比较两车等速时的位移关系，即可明确是否相碰.
因快车减速运动的加速度大小为：
a= m/s2=0.1 m/s2.
故快车刹车至两车等速历时：
t= s=120 s.
该时间内两车位移分别是：
s快=v快t-at2=20×120 m-×0.1×1202 m=1680 m
s货=v货t=8×120 m=960 m
因为s快＞s货+s0=1560 m,故两车会发生相撞.
小结：该题还有多种讨论方法，如讨论两车相遇时速度关系或利用相对运动知识求解，请同学们练习.
［例3］公共汽车从车站开出以4 m/s的速度沿平直公路行驶，2 s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2 m/s2，试问：
（1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？
（2）摩托车追上汽车时，离出发处多远？
（3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？
【解析】 开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上.显然，在上述过程中，摩托车的速度等于汽车的速度时，它们间的距离最大.
（1）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即
v(t+2)= at2
解得摩托车追上汽车经历的时间为
t=5.46 s
（2）摩托车追上汽车时通过的位移为
s=at2=29.9 m
（3）摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即：
v=at′
t′==2 s
最大距离为
Δs=v(t′＋2)- at′2=12 m
小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解时列方程的依据.涉及临界问题时要抓住临界条件.
［例4］一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？
【解析】 若后面火车的速度减小到比前面火车的速度还小时，后面火车还没追上前面火车，两车不会相撞.若后面火车速度减小到跟前面火车速度相等时，两列火车恰好相遇，这是相撞的临界情况.
方法1：设两车经过时间t相遇，则
v1t-at2-v2t=s
化简得：at2-2(v1-v2)t+2s=0
当 Δ=4(v1-v2)2-8as＜0
即a＞时，t无解，即两车不相撞.
方法2：当两车速度相等时，恰好相遇，是两车相撞的临界情况，则
v1-at=v2
v1t-at2-v2t=s
解得a=
为使两车不相撞,应使a＞.
方法3:后面的车相对前面的车做匀减速运动,初状态相对速度为(v1-v2),当两车速度相等时,相对速度为零,根据vt2-v02=2as,得,为使两车不相撞,应有
(v1-v2)2＜2as
a＞
小结:利用相对运动分析追及、相遇问题往往较简便.
●应用强化训练
1.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0.若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为
A.1s B.2s C.3s D.4s
【解析】 两车同时刹车，则两车将滑行相同的距离s而停止，由于前车刹车停止后后车接着刹车，所以后车比前车多运动的位移（即题中所求最小间距）即为前车刹车时间内后车以原速运动的位移.由刹车过程的平均速度等于原速的，故前车刹车过程中，后车以原速运动的位移为2s.
【答案】 B
2.汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始
A.A车在加速过程中与B车相遇 B.A、B相遇时速度相同
C.相遇时A车做匀速运动 D.两车不可能再次相遇
【解析】 若A车在加速过程中与B车相遇，设运动时间为t，则：at2=vBt，解得：t= s=40 s＞30 s，可见，A车加速30 s内并未追及B车.因加速30 s后，vA=12 m/s＞vB=8 m/s，故匀速运动过程中可追及B车.
【答案】 C
3.A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA=4 m/s,B车的速度vB=10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时，B车以a=2 m/s2的加速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时，则A车追上B车需要的时间是____s,在A车追上B车之前，二者之间的最大距离是___ m.
【解析】 设在B车减速过程中A车追及B车，其间历时为t，则：vAt=vBt-at2+7，代入数据解得：t=7 s(取有意
义值).而B车减速至零，历时t0==5 s＜t，故上解错误.正确的解答应为：vAt=+7，所以：t==8 s.
两车等速时间距最大，B车减速至A、B等速历时：t1= s=3 s，所以A、B两车最大间距为
Δsm=vBt1-at12+7-vAt1
=10×3 m-×2×32 m+7 m-4×3 m
=16 m
【答案】 8；16
4.同一直线上的A、B两质点，相距s，它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A做速度为v的匀速直线运动，B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动.若A在B前，两者可相遇______次，若B在A前，两者最多可相遇______次.
【解析】 若A车在前匀速运动，B车在后匀加速追赶A车，两车等速时相距最远（间距大于s），故B车追及A车时必有vB＞vA，以后B车在前，两车间距逐渐增大，不可能再相遇.
若B车在前匀加速运动，A车在后匀速运动，若追及时两车恰等速，因以后vB＞vA，不可再次相遇，即只能相遇1次；但若A车追及B车时vA＞vB，相遇后A车超前，但由于B车速度不断增大，仍能再次追及A车，即能相遇2次.
【答案】 1；2
5.从同一地点以30 m/s的速度先后竖直上抛两个物体，抛出时间相差2 s,不计空气阻力，两物体将在何处何时相遇？
【解析】 设第一物体上抛t s后相遇，则： 30t-×10t2=30×(t-2)- ×10×(t-2)2解得：t=4 s,相遇高度
h=30t-×10t2=40 m.
【答案】 距地40 m，第一物体抛出后4 s相遇
6.从相距30 km的甲、乙两站每隔15 min同时以30 km/h的速率向对方开出一辆汽车.若首班车为早晨5时发车，则6时从甲站开出的汽车在途中会遇到多少辆从乙站开出的汽车？
【解析】 每车在两站间运动时间t==1 h.当6时某车从甲站开出时，乙站的首发车已进甲站，此时路上已有3辆车在路途中，且乙站恰有一车待发.当该车行至乙站时历时1 h，乙站将又发出4辆车，故最多可有7辆车相遇.
【答案】 7辆
7.如图1-2-1所示，A、B两物体相距s=7 m,A正以v1=4 m/s的速度向右做匀速直线运动，而物体B此时速度v2=10 m/s，方向向右，做匀减速直线运动（不能返回），加速度大小a=2 m/s2，从图示位置开始计时，问在什么情况下，经多少时间A追上B.

图1-2-1
【解析】 物体B的运动时间为tB= s=5 s
在此时间内B前进了
sB=·tB=×5 m=25 m
这时A前进了
sA=vAtB=4×5 m=20 m
可见在此时间内A没有追上B，必须在B停止后，A才能追上B.故A追上B的时间为
t= s=8 s
【答案】 8 s
8.A球自距地面高h处开始自由下落，同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛，空气阻力不计.问：
（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？
（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？
【解析】 两球相遇时位移之和等于h.即：
gt2+(v0t-gt2)=h
所以：t=.
而B球上升的时间：t1=，B球在空中运动的总时间：
t2=.
(1)欲使两球在B球上升过程中相遇，则有
t＜t1,即＜,所以v0＞.
(2)欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：
t1＜t＜t2
即:＜＜,
所以：＜v0＜.
【答案】 （1）v0＞
(2) ＜v0＜

●教学参考链接
运动物体的追赶、相遇问题，一般解法较多：解析法、图象法、极值法等.应适当地做些一题多解的练习，以开启学生思路，培养学生发散思维的能力.但平时训练仍应以物理意义突出的解析法为主.通过例题讲解和适当的练习后，引导学生总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方法，特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、“恰好不相碰”等临界问题，应在学生思考的基础上总结出临界状态的特点，找出临界条件.
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