初一.数学计算的智巧.doc

[文件] sxjsck0022 .doc
[科目] 数学
[关键词] 初一/计算
[标题] 数学计算的智巧
[内容]
数学计算的智巧
数学计算不仅要遵守四则运算法则，更重要的是要运用机智寻找到一种巧妙合理的算法.机智来自细心的观察和大胆的探索，因此在学习数学中要努力学会观察和分析，培养积极探索的精神.
1．倒过来写
例1 求和1+2+3+…+999.
分析 在高速计算机上解决这个问题太容易了，但人不是计算机！你能找到一种巧妙的算法吗 ？观察
S=1+2+3+…+997+998+999. ①
做这一长串加法的困难在于各数互不相等，但不等中包含着相等——首末两项之和与和首末两项等距离的两项之和相等！这时，机智的做法是将S倒过来写：
S=999+998+997+…3+2+1. ②
将①②两式左、右分别相加，便把加法转化为乘法了:
2S=(1+999)×999,
从而得 S=499500.
这种巧妙的求和方法是德国少年高斯的杰作.请将999换成任意自然数n后写出解答过程.
答:
例2 试证不等式
.
2.添加括号
例3 计算S=1-2+3-4+…+
分析 不难看出这个算式的规律——任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将1、2项，3、4项，…，分别编组的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯而取“加括号”之法得
S=（1-2）+（3-4）+…+

比“加括号”更一般的思想方法是“分组求和”.
例4 在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数手只、三个数的积、…、七个数的积，试求它们的和.
解（1）任选一个数的和：
1+（-1）+2+（-2）+3×(-3)+4=4.
(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,…成对出现,这些积的和为0)的和为:
1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=-14.
3.任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),…成对出现，这些积的和为0)的和为：
4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-56.
（4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：
1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3 ×（-3）+1×（-1）×3×（-3）=49；
1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=196
1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=-36；
1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=144.
所以，所求的和为-1.
3.一分为二
例5 （1978年上海中学生数学竞赛题）比较（n为任意自然数）与2的大小.
分析 关键是将写成宜于与2比较的简单的式子（直接的计算几乎不可能）.现依次称的各项分别为第1项，第2项，…，第n项，对第k项变形

4.画一个图
为了求和
S＇=1+2+…+10，
可作一个阶梯形（如图1-1中阴影部分），图中每个小方格为一个面积单位，可见S＇为阶梯形的面积，将两个同样的阶梯形拼在一起得一个11×10的矩形，此矩形面积的一半即S＇.仿此可以求例1中的S，画图的好处由此可见一斑.
例6（第19届国际数学竞赛题）有限个实数（可以重复）按一定顺序排成一列，任意连续七个数之和为负，任意连续十一个数之和为正，确定这些实数最多有几个，
分析 文字信息有使人坠入五里雾中之感，将这有限个实数依次编号为①、②，…，如图1-2所示.
把图中的数字同时向前挪一位，挪二位，…，便可以看出，从第12个数起，任意连续三数之和为负；从第15个数起，每一个数都为正，因编号为15、16、17的三个正数之和不可能是负的，故这些实数最多有16个，例如可以验证（）
5，5，-13，5，5，5，-13，5，
5，-13，5，5，5，-13，5，5
这一列数满足题设条件，表可以看成是一种特殊的图.
例7，对于 n个连续的自然数1，2，3，…，n，作出其一切可能的和数（被加数的个数从1到n），证明得到的和数中至少有个两两互不相同，
分析 从联想到例1的推广了的结论，即=1+2+…+n，
触发猜想：所述和数至少可以分成n批，第一批一个，第二批两个，…，第n批n个，则问题获得解决，
注意到1＜2＜3＜…＜n-1＜n，取出若干和数列成下表：

此表中恰有个和数，显然它们两两互不相等.
练 习 一
1.填空题
（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99等于_______.
（2）1至100所有不能被9整除的自然数的和等于_______.
（3）计算（

2.选择题
(1)乘积等于( ).
(A) (B) (C) (D)
(2)(第36届美国中学数学竞赛题)从和式
中,必须除去( ),才能使余下的项的和等于1
(A) (B)
(3)设a、b、c为互相等的整数，满足的数组（a、b、c）有（ ）个.
（A）2 （B）无数多 （C）1 （D）3
（4）分母是1001的最简真分数共有（ ）个.
（A）720 （B）693 （C）692 （D）721
3求和S=1·1+2·2·1+3·3·2·1+…n·n(n-1)…·2·1.
4（第1届“从小爱数学”邀请赛试题）一串数：
中，
（1）是第几个分数？
（2）第400个分数是几分之几？
5.（1）8个乒乓球队员进行循环赛，需要比赛多少场？
（2）从全班50名学生中，选出三人分别担任班长、学习委员、文娱委员的选法有多少种？
6.（1989年安徽宿州市初一数学竞赛题）已知
求的值.
7.从1到100这100个自然数中取10个，使它们倒数和等于1.
8.（第5届美国数学邀请赛）非负整数有序数对（m,n），若在求和m+n时无需进位（十进制下），则称它为“简单”的，求所有和为1492的简单的非负整数有序数对的个数.
9.（“华罗庚金杯”全国第二届少年数学邀请赛（决赛）题）用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？
10.数字3可以有四种表示为一个或多个正整数之和，即3，1+2，2+1，1+1+1，数n有多少种这样的表示法？

练习一答案
1．（1）1584 （2）4456 （3）5151 （4）885.
2.C.D.D.A
3.利用k·k(k-1)·…·2·1=（k+1）·k·（k-1）·…·2·1-k·（k-1）·…·2·1，S=（n+1）·n·（n-1）·…·2·1-1.
4.(1)第88和第94两个位置.
(2)
5.(1)28 (2)50×49×48=117600.
6.利用
7.利用
8.m、n的个位数字可以是2、0、1、1、0、2三种;同理:十、百、千位数字分别有十、五、二利.所求个数是3×10×5×2=300.
9.分四种情况列表.
(1)用1分和2分两种硬币来凑.计51种凑法.
(2)用1分和2分两种硬币来凑.计19种凑法(表略).
(3)用2分和5分两种硬币来凑.计10种凑法(表略).
(4)用1分、2分、5分三种硬币来凑.计461种凑法.

故共有51+19+10+461=541种凑法.
10.将n个“1”排成一行，1|11…1|11，然后在这些“1”之间画上一些竖线，两条竖线之间的1相加得到n的一个加数，由于在任意两个1之间都可以画或不画竖线，所以一共有2n-1种方法画竖线，从而n有2n-1种表示法.

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